Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 9567 / 7456
↖ ↑ ↗
← N 69.534518°
W 74.893799°		 ← 427.14 m → N 69.534518°
W 74.882812°		 →
↑
427.18 m
↓
↑
427.18 m
↓
N 69.530676°
W 74.893799°		 ← 427.21 m →
182 479 m²		 N 69.530676°
W 74.882812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.291976928710938 y=0.227554321289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.291976928710938 × 215)
    floor (0.291976928710938 × 32768)
    floor (9567.5)     		tx = 9567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227554321289062 × 215)
    floor (0.227554321289062 × 32768)
    floor (7456.5)     		ty = 7456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9567 / 7456 ti = "15/9567/7456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9567/7456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9567 ÷ 215
    9567 ÷ 32768     		x = 0.291961669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7456 ÷ 215
    7456 ÷ 32768     		y = 0.2275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.291961669921875 × 2 - 1) × π
    -0.41607666015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.30714338
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2275390625 × 2 - 1) × π
    0.544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.71192255923145
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.30714338} λ = -1.30714338}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71192255923145))-π/2
    2×atan(5.5396014582723)-π/2
    2×1.3922013016105-π/2
    2.78440260322101-1.57079632675     		φ = 1.21360628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.30714338} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -74.893799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21360628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.534518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9567 KachelY 7456 -1.30714338 1.21360628 -74.893799 69.534518
    Oben rechts KachelX + 1 9568 KachelY 7456 -1.30695163 1.21360628 -74.882812 69.534518
    Unten links KachelX 9567 KachelY + 1 7457 -1.30714338 1.21353923 -74.893799 69.530676
    Unten rechts KachelX + 1 9568 KachelY + 1 7457 -1.30695163 1.21353923 -74.882812 69.530676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21360628-1.21353923) × R
    6.70499999999574e-05 × 6371000     		dl = 427.175549999729m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21360628-1.21353923) × R
    6.70499999999574e-05 × 6371000     		dr = 427.175549999729m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.30714338--1.30695163) × cos(1.21360628) × R
    0.000191750000000157 × 0.349643019707478 × 6371000     		do = 427.137636363529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.30714338--1.30695163) × cos(1.21353923) × R
    0.000191750000000157 × 0.349705836926746 × 6371000     		du = 427.214376344162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21360628)-sin(1.21353923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349643019707478-0.349705836926746)×R²
    abs(-1.30695163--1.30714338)×6.28172192676524e-05×R²
    0.000191750000000157×6.28172192676524e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.28172192676524e-05×40589641000000     		ar = 182479.145529376m²