Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9567 / 7401
↖ ↑ ↗
← N 17.119793°
E 30.212403°		 ← 2 334.96 m → N 17.119793°
E 30.234375°		 →
↑
2 335.16 m
↓
↑
2 335.16 m
↓
N 17.098792°
E 30.212403°		 ← 2 335.22 m →
5 452 817 m²		 N 17.098792°
E 30.234375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583953857421875 y=0.451751708984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583953857421875 × 214)
    floor (0.583953857421875 × 16384)
    floor (9567.5)     		tx = 9567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451751708984375 × 214)
    floor (0.451751708984375 × 16384)
    floor (7401.5)     		ty = 7401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9567 / 7401 ti = "14/9567/7401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9567/7401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9567 ÷ 214
    9567 ÷ 16384     		x = 0.58392333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7401 ÷ 214
    7401 ÷ 16384     		y = 0.45172119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58392333984375 × 2 - 1) × π
    0.1678466796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52730590
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45172119140625 × 2 - 1) × π
    0.0965576171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.303344700795715
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52730590} λ = 0.52730590}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.303344700795715))-π/2
    2×atan(1.35438124027989)-π/2
    2×0.934796536591789-π/2
    1.86959307318358-1.57079632675     		φ = 0.29879675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52730590} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.212403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29879675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.119793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9567 KachelY 7401 0.52730590 0.29879675 30.212403 17.119793
    Oben rechts KachelX + 1 9568 KachelY 7401 0.52768939 0.29879675 30.234375 17.119793
    Unten links KachelX 9567 KachelY + 1 7402 0.52730590 0.29843022 30.212403 17.098792
    Unten rechts KachelX + 1 9568 KachelY + 1 7402 0.52768939 0.29843022 30.234375 17.098792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29879675-0.29843022) × R
    0.000366529999999976 × 6371000     		dl = 2335.16262999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29879675-0.29843022) × R
    0.000366529999999976 × 6371000     		dr = 2335.16262999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52730590-0.52768939) × cos(0.29879675) × R
    0.000383490000000042 × 0.955691382155422 × 6371000     		do = 2334.95931955792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52730590-0.52768939) × cos(0.29843022) × R
    0.000383490000000042 × 0.95579921357083 × 6371000     		du = 2335.22277486687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29879675)-sin(0.29843022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.955691382155422-0.95579921357083)×R²
    abs(0.52768939-0.52730590)×0.000107831415407822×R²
    0.000383490000000042×0.000107831415407822×6371000²
    0.000383490000000042×0.000107831415407822×40589641000000     		ar = 5452817.41214415m²