Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9567 / 7327
↖ ↑ ↗
← N 18.667063°
E 30.212403°		 ← 2 314.69 m → N 18.667063°
E 30.234375°		 →
↑
2 314.84 m
↓
↑
2 314.84 m
↓
N 18.646245°
E 30.212403°		 ← 2 314.97 m →
5 358 459 m²		 N 18.646245°
E 30.234375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583953857421875 y=0.447235107421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583953857421875 × 214)
    floor (0.583953857421875 × 16384)
    floor (9567.5)     		tx = 9567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447235107421875 × 214)
    floor (0.447235107421875 × 16384)
    floor (7327.5)     		ty = 7327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9567 / 7327 ti = "14/9567/7327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9567/7327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9567 ÷ 214
    9567 ÷ 16384     		x = 0.58392333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7327 ÷ 214
    7327 ÷ 16384     		y = 0.44720458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58392333984375 × 2 - 1) × π
    0.1678466796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52730590
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44720458984375 × 2 - 1) × π
    0.1055908203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.331723345370789
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52730590} λ = 0.52730590}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.331723345370789))-π/2
    2×atan(1.39336731366746)-π/2
    2×0.948299020581438-π/2
    1.89659804116288-1.57079632675     		φ = 0.32580171
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52730590} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.212403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32580171 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.667063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9567 KachelY 7327 0.52730590 0.32580171 30.212403 18.667063
    Oben rechts KachelX + 1 9568 KachelY 7327 0.52768939 0.32580171 30.234375 18.667063
    Unten links KachelX 9567 KachelY + 1 7328 0.52730590 0.32543837 30.212403 18.646245
    Unten rechts KachelX + 1 9568 KachelY + 1 7328 0.52768939 0.32543837 30.234375 18.646245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32580171-0.32543837) × R
    0.000363340000000045 × 6371000     		dl = 2314.83914000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32580171-0.32543837) × R
    0.000363340000000045 × 6371000     		dr = 2314.83914000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52730590-0.52768939) × cos(0.32580171) × R
    0.000383490000000042 × 0.947394428849541 × 6371000     		do = 2314.68808052905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52730590-0.52768939) × cos(0.32543837) × R
    0.000383490000000042 × 0.94751065997265 × 6371000     		du = 2314.97205812809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32580171)-sin(0.32543837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947394428849541-0.94751065997265)×R²
    abs(0.52768939-0.52730590)×0.000116231123108768×R²
    0.000383490000000042×0.000116231123108768×6371000²
    0.000383490000000042×0.000116231123108768×40589641000000     		ar = 5358459.30588131m²