Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9564 / 7340
↖ ↑ ↗
← N 18.396230°
E 30.146484°		 ← 2 318.42 m → N 18.396230°
E 30.168457°		 →
↑
2 318.53 m
↓
↑
2 318.53 m
↓
N 18.375379°
E 30.146484°		 ← 2 318.70 m →
5 375 659 m²		 N 18.375379°
E 30.168457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583770751953125 y=0.448028564453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583770751953125 × 214)
    floor (0.583770751953125 × 16384)
    floor (9564.5)     		tx = 9564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448028564453125 × 214)
    floor (0.448028564453125 × 16384)
    floor (7340.5)     		ty = 7340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9564 / 7340 ti = "14/9564/7340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9564/7340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9564 ÷ 214
    9564 ÷ 16384     		x = 0.583740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7340 ÷ 214
    7340 ÷ 16384     		y = 0.447998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583740234375 × 2 - 1) × π
    0.16748046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52615541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447998046875 × 2 - 1) × π
    0.10400390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.326737907810303
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52615541} λ = 0.52615541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.326737907810303))-π/2
    2×atan(1.38643805497161)-π/2
    2×0.945935556324624-π/2
    1.89187111264925-1.57079632675     		φ = 0.32107479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52615541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.146484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32107479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.396230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9564 KachelY 7340 0.52615541 0.32107479 30.146484 18.396230
    Oben rechts KachelX + 1 9565 KachelY 7340 0.52653891 0.32107479 30.168457 18.396230
    Unten links KachelX 9564 KachelY + 1 7341 0.52615541 0.32071087 30.146484 18.375379
    Unten rechts KachelX + 1 9565 KachelY + 1 7341 0.52653891 0.32071087 30.168457 18.375379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32107479-0.32071087) × R
    0.000363920000000018 × 6371000     		dl = 2318.53432000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32107479-0.32071087) × R
    0.000363920000000018 × 6371000     		dr = 2318.53432000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52615541-0.52653891) × cos(0.32107479) × R
    0.000383499999999981 × 0.948896776888081 × 6371000     		do = 2318.41909368983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52615541-0.52653891) × cos(0.32071087) × R
    0.000383499999999981 × 0.94901156232885 × 6371000     		du = 2318.69954648938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32107479)-sin(0.32071087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948896776888081-0.94901156232885)×R²
    abs(0.52653891-0.52615541)×0.000114785440769483×R²
    0.000383499999999981×0.000114785440769483×6371000²
    0.000383499999999981×0.000114785440769483×40589641000000     		ar = 5375659.41591221m²