Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9564 / 5436
↖ ↑ ↗
← N 81.675606°
W127.463379°		 ← 88.44 m → N 81.675606°
W127.457886°		 →
↑
88.43 m
↓
↑
88.43 m
↓
N 81.674811°
W127.463379°		 ← 88.45 m →
7 821 m²		 N 81.674811°
W127.457886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145942687988281 y=0.0829544067382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145942687988281 × 216)
    floor (0.145942687988281 × 65536)
    floor (9564.5)     		tx = 9564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0829544067382812 × 216)
    floor (0.0829544067382812 × 65536)
    floor (5436.5)     		ty = 5436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9564 / 5436 ti = "16/9564/5436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9564/5436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9564 ÷ 216
    9564 ÷ 65536     		x = 0.14593505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5436 ÷ 216
    5436 ÷ 65536     		y = 0.08294677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14593505859375 × 2 - 1) × π
    -0.7081298828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.22465564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08294677734375 × 2 - 1) × π
    0.8341064453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.62042268083075
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22465564} λ = -2.22465564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62042268083075))-π/2
    2×atan(13.7415306393126)-π/2
    2×1.49815228482028-π/2
    2.99630456964056-1.57079632675     		φ = 1.42550824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22465564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.463379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42550824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.675606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9564 KachelY 5436 -2.22465564 1.42550824 -127.463379 81.675606
    Oben rechts KachelX + 1 9565 KachelY 5436 -2.22455976 1.42550824 -127.457886 81.675606
    Unten links KachelX 9564 KachelY + 1 5437 -2.22465564 1.42549436 -127.463379 81.674811
    Unten rechts KachelX + 1 9565 KachelY + 1 5437 -2.22455976 1.42549436 -127.457886 81.674811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42550824-1.42549436) × R
    1.38800000000217e-05 × 6371000     		dl = 88.4294800001379m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42550824-1.42549436) × R
    1.38800000000217e-05 × 6371000     		dr = 88.4294800001379m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22465564--2.22455976) × cos(1.42550824) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.144777487295535 × 6371000     		do = 88.4375423851007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22465564--2.22455976) × cos(1.42549436) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.144791221045218 × 6371000     		du = 88.4459316664206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42550824)-sin(1.42549436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144777487295535-0.144791221045218)×R²
    abs(-2.22455976--2.22465564)×1.37337496832757e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.37337496832757e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.37337496832757e-05×40589641000000     		ar = 7820.85681569898m²