Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9562 / 7396
↖ ↑ ↗
← N 17.224758°
E 30.102539°		 ← 2 333.70 m → N 17.224758°
E 30.124512°		 →
↑
2 333.76 m
↓
↑
2 333.76 m
↓
N 17.203770°
E 30.102539°		 ← 2 333.96 m →
5 446 604 m²		 N 17.203770°
E 30.124512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583648681640625 y=0.451446533203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583648681640625 × 214)
    floor (0.583648681640625 × 16384)
    floor (9562.5)     		tx = 9562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451446533203125 × 214)
    floor (0.451446533203125 × 16384)
    floor (7396.5)     		ty = 7396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9562 / 7396 ti = "14/9562/7396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9562/7396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9562 ÷ 214
    9562 ÷ 16384     		x = 0.5836181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7396 ÷ 214
    7396 ÷ 16384     		y = 0.451416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5836181640625 × 2 - 1) × π
    0.167236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.52538842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451416015625 × 2 - 1) × π
    0.09716796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.305262176780518
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52538842} λ = 0.52538842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.305262176780518))-π/2
    2×atan(1.3569807252109)-π/2
    2×0.935712535176038-π/2
    1.87142507035208-1.57079632675     		φ = 0.30062874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52538842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.102539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30062874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.224758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9562 KachelY 7396 0.52538842 0.30062874 30.102539 17.224758
    Oben rechts KachelX + 1 9563 KachelY 7396 0.52577192 0.30062874 30.124512 17.224758
    Unten links KachelX 9562 KachelY + 1 7397 0.52538842 0.30026243 30.102539 17.203770
    Unten rechts KachelX + 1 9563 KachelY + 1 7397 0.52577192 0.30026243 30.124512 17.203770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30062874-0.30026243) × R
    0.000366309999999981 × 6371000     		dl = 2333.76100999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30062874-0.30026243) × R
    0.000366309999999981 × 6371000     		dr = 2333.76100999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52538842-0.52577192) × cos(0.30062874) × R
    0.000383499999999981 × 0.955150494934179 × 6371000     		do = 2333.69866853692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52538842-0.52577192) × cos(0.30026243) × R
    0.000383499999999981 × 0.955258902861887 × 6371000     		du = 2333.96353929592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30062874)-sin(0.30026243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.955150494934179-0.955258902861887)×R²
    abs(0.52577192-0.52538842)×0.000108407927707388×R²
    0.000383499999999981×0.000108407927707388×6371000²
    0.000383499999999981×0.000108407927707388×40589641000000     		ar = 5446604.09514833m²