Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9561 / 7351
↖ ↑ ↗
← N 18.166730°
E 30.080566°		 ← 2 321.49 m → N 18.166730°
E 30.102539°		 →
↑
2 321.59 m
↓
↑
2 321.59 m
↓
N 18.145852°
E 30.080566°		 ← 2 321.77 m →
5 389 873 m²		 N 18.145852°
E 30.102539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583587646484375 y=0.448699951171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583587646484375 × 214)
    floor (0.583587646484375 × 16384)
    floor (9561.5)     		tx = 9561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448699951171875 × 214)
    floor (0.448699951171875 × 16384)
    floor (7351.5)     		ty = 7351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9561 / 7351 ti = "14/9561/7351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9561/7351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9561 ÷ 214
    9561 ÷ 16384     		x = 0.58355712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7351 ÷ 214
    7351 ÷ 16384     		y = 0.44866943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58355712890625 × 2 - 1) × π
    0.1671142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.52500492
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44866943359375 × 2 - 1) × π
    0.1026611328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.322519460643738
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52500492} λ = 0.52500492}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.322519460643738))-π/2
    2×atan(1.3806017579971)-π/2
    2×0.943932793383345-π/2
    1.88786558676669-1.57079632675     		φ = 0.31706926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52500492} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.080566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31706926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.166730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9561 KachelY 7351 0.52500492 0.31706926 30.080566 18.166730
    Oben rechts KachelX + 1 9562 KachelY 7351 0.52538842 0.31706926 30.102539 18.166730
    Unten links KachelX 9561 KachelY + 1 7352 0.52500492 0.31670486 30.080566 18.145852
    Unten rechts KachelX + 1 9562 KachelY + 1 7352 0.52538842 0.31670486 30.102539 18.145852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31706926-0.31670486) × R
    0.000364400000000042 × 6371000     		dl = 2321.59240000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31706926-0.31670486) × R
    0.000364400000000042 × 6371000     		dr = 2321.59240000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52500492-0.52538842) × cos(0.31706926) × R
    0.000383499999999981 × 0.950153252963502 × 6371000     		do = 2321.48901467067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52500492-0.52538842) × cos(0.31670486) × R
    0.000383499999999981 × 0.950266803693645 × 6371000     		du = 2321.76645072829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31706926)-sin(0.31670486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950153252963502-0.950266803693645)×R²
    abs(0.52538842-0.52500492)×0.00011355073014252×R²
    0.000383499999999981×0.00011355073014252×6371000²
    0.000383499999999981×0.00011355073014252×40589641000000     		ar = 5389873.35950718m²