Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9557 / 7311
↖ ↑ ↗
← N 18.999803°
E 29.992676°		 ← 2 310.17 m → N 18.999803°
E 30.014648°		 →
↑
2 310.32 m
↓
↑
2 310.32 m
↓
N 18.979026°
E 29.992676°		 ← 2 310.46 m →
5 337 550 m²		 N 18.979026°
E 30.014648°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583343505859375 y=0.446258544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583343505859375 × 214)
    floor (0.583343505859375 × 16384)
    floor (9557.5)     		tx = 9557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446258544921875 × 214)
    floor (0.446258544921875 × 16384)
    floor (7311.5)     		ty = 7311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9557 / 7311 ti = "14/9557/7311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9557/7311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9557 ÷ 214
    9557 ÷ 16384     		x = 0.58331298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7311 ÷ 214
    7311 ÷ 16384     		y = 0.44622802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58331298828125 × 2 - 1) × π
    0.1666259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52347094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44622802734375 × 2 - 1) × π
    0.1075439453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.337859268522156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52347094} λ = 0.52347094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.337859268522156))-π/2
    2×atan(1.40194319198442)-π/2
    2×0.951202721691239-π/2
    1.90240544338248-1.57079632675     		φ = 0.33160912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52347094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.992676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33160912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.999803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9557 KachelY 7311 0.52347094 0.33160912 29.992676 18.999803
    Oben rechts KachelX + 1 9558 KachelY 7311 0.52385444 0.33160912 30.014648 18.999803
    Unten links KachelX 9557 KachelY + 1 7312 0.52347094 0.33124649 29.992676 18.979026
    Unten rechts KachelX + 1 9558 KachelY + 1 7312 0.52385444 0.33124649 30.014648 18.979026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33160912-0.33124649) × R
    0.000362629999999975 × 6371000     		dl = 2310.31572999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33160912-0.33124649) × R
    0.000362629999999975 × 6371000     		dr = 2310.31572999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52347094-0.52385444) × cos(0.33160912) × R
    0.000383499999999981 × 0.945519694857625 × 6371000     		do = 2310.16794177208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52347094-0.52385444) × cos(0.33124649) × R
    0.000383499999999981 × 0.945637692287967 × 6371000     		du = 2310.45624235669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33160912)-sin(0.33124649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945519694857625-0.945637692287967)×R²
    abs(0.52385444-0.52347094)×0.000117997430341799×R²
    0.000383499999999981×0.000117997430341799×6371000²
    0.000383499999999981×0.000117997430341799×40589641000000     		ar = 5337550.42599628m²