Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9557 / 5988
↖ ↑ ↗
← N 81.224915°
W127.501831°		 ← 93.18 m → N 81.224915°
W127.496338°		 →
↑
93.14 m
↓
↑
93.14 m
↓
N 81.224077°
W127.501831°		 ← 93.19 m →
8 680 m²		 N 81.224077°
W127.496338°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145835876464844 y=0.0913772583007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145835876464844 × 216)
    floor (0.145835876464844 × 65536)
    floor (9557.5)     		tx = 9557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0913772583007812 × 216)
    floor (0.0913772583007812 × 65536)
    floor (5988.5)     		ty = 5988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9557 / 5988 ti = "16/9557/5988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9557/5988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9557 ÷ 216
    9557 ÷ 65536     		x = 0.145828247070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5988 ÷ 216
    5988 ÷ 65536     		y = 0.09136962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.145828247070312 × 2 - 1) × π
    -0.708343505859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.22532675
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09136962890625 × 2 - 1) × π
    0.8172607421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.56750034365021
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22532675} λ = -2.22532675}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56750034365021))-π/2
    2×atan(13.0332051553922)-π/2
    2×1.49421926525103-π/2
    2.98843853050206-1.57079632675     		φ = 1.41764220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22532675} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.501831°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41764220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.224915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9557 KachelY 5988 -2.22532675 1.41764220 -127.501831 81.224915
    Oben rechts KachelX + 1 9558 KachelY 5988 -2.22523088 1.41764220 -127.496338 81.224915
    Unten links KachelX 9557 KachelY + 1 5989 -2.22532675 1.41762758 -127.501831 81.224077
    Unten rechts KachelX + 1 9558 KachelY + 1 5989 -2.22523088 1.41762758 -127.496338 81.224077
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41764220-1.41762758) × R
    1.46199999999652e-05 × 6371000     		dl = 93.1440199997784m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41764220-1.41762758) × R
    1.46199999999652e-05 × 6371000     		dr = 93.1440199997784m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22532675--2.22523088) × cos(1.41764220) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.152556093310253 × 6371000     		do = 93.1793960328792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22532675--2.22523088) × cos(1.41762758) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.152570542164122 × 6371000     		du = 93.1882212161128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41764220)-sin(1.41762758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152556093310253-0.152570542164122)×R²
    abs(-2.22523088--2.22532675)×1.4448853868837e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.4448853868837e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.4448853868837e-05×40589641000000     		ar = 8679.51453434516m²