Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9555 / 7308
↖ ↑ ↗
← N 19.062118°
E 29.948730°		 ← 2 309.30 m → N 19.062118°
E 29.970703°		 →
↑
2 309.42 m
↓
↑
2 309.42 m
↓
N 19.041349°
E 29.948730°		 ← 2 309.59 m →
5 333 490 m²		 N 19.041349°
E 29.970703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583221435546875 y=0.446075439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583221435546875 × 214)
    floor (0.583221435546875 × 16384)
    floor (9555.5)     		tx = 9555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446075439453125 × 214)
    floor (0.446075439453125 × 16384)
    floor (7308.5)     		ty = 7308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9555 / 7308 ti = "14/9555/7308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9555/7308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9555 ÷ 214
    9555 ÷ 16384     		x = 0.58319091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7308 ÷ 214
    7308 ÷ 16384     		y = 0.446044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58319091796875 × 2 - 1) × π
    0.1663818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.52270395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446044921875 × 2 - 1) × π
    0.10791015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.339009754113037
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52270395} λ = 0.52270395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.339009754113037))-π/2
    2×atan(1.40355703559994)-π/2
    2×0.951746523128181-π/2
    1.90349304625636-1.57079632675     		φ = 0.33269672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52270395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.948730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33269672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.062118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9555 KachelY 7308 0.52270395 0.33269672 29.948730 19.062118
    Oben rechts KachelX + 1 9556 KachelY 7308 0.52308745 0.33269672 29.970703 19.062118
    Unten links KachelX 9555 KachelY + 1 7309 0.52270395 0.33233423 29.948730 19.041349
    Unten rechts KachelX + 1 9556 KachelY + 1 7309 0.52308745 0.33233423 29.970703 19.041349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33269672-0.33233423) × R
    0.000362489999999993 × 6371000     		dl = 2309.42378999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33269672-0.33233423) × R
    0.000362489999999993 × 6371000     		dr = 2309.42378999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52270395-0.52308745) × cos(0.33269672) × R
    0.000383499999999981 × 0.945165051322812 × 6371000     		do = 2309.30144884831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52270395-0.52308745) × cos(0.33233423) × R
    0.000383499999999981 × 0.945283375941067 × 6371000     		du = 2309.59054884411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33269672)-sin(0.33233423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945165051322812-0.945283375941067)×R²
    abs(0.52308745-0.52270395)×0.00011832461825545×R²
    0.000383499999999981×0.00011832461825545×6371000²
    0.000383499999999981×0.00011832461825545×40589641000000     		ar = 5333489.58985709m²