Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9554 / 7250
↖ ↑ ↗
← N 20.262197°
E 29.926758°		 ← 2 292.02 m → N 20.262197°
E 29.948730°		 →
↑
2 292.16 m
↓
↑
2 292.16 m
↓
N 20.241583°
E 29.926758°		 ← 2 292.33 m →
5 254 028 m²		 N 20.241583°
E 29.948730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583160400390625 y=0.442535400390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583160400390625 × 214)
    floor (0.583160400390625 × 16384)
    floor (9554.5)     		tx = 9554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442535400390625 × 214)
    floor (0.442535400390625 × 16384)
    floor (7250.5)     		ty = 7250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9554 / 7250 ti = "14/9554/7250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9554/7250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9554 ÷ 214
    9554 ÷ 16384     		x = 0.5831298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7250 ÷ 214
    7250 ÷ 16384     		y = 0.4425048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5831298828125 × 2 - 1) × π
    0.166259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52232046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4425048828125 × 2 - 1) × π
    0.114990234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.361252475536743
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52232046} λ = 0.52232046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.361252475536743))-π/2
    2×atan(1.435125749286)-π/2
    2×0.962219190145719-π/2
    1.92443838029144-1.57079632675     		φ = 0.35364205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52232046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.926758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35364205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.262197°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9554 KachelY 7250 0.52232046 0.35364205 29.926758 20.262197
    Oben rechts KachelX + 1 9555 KachelY 7250 0.52270395 0.35364205 29.948730 20.262197
    Unten links KachelX 9554 KachelY + 1 7251 0.52232046 0.35328227 29.926758 20.241583
    Unten rechts KachelX + 1 9555 KachelY + 1 7251 0.52270395 0.35328227 29.948730 20.241583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35364205-0.35328227) × R
    0.000359779999999976 × 6371000     		dl = 2292.15837999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35364205-0.35328227) × R
    0.000359779999999976 × 6371000     		dr = 2292.15837999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52232046-0.52270395) × cos(0.35364205) × R
    0.000383490000000042 × 0.938117634487603 × 6371000     		do = 2292.02287934018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52232046-0.52270395) × cos(0.35328227) × R
    0.000383490000000042 × 0.938242171615994 × 6371000     		du = 2292.32715029416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35364205)-sin(0.35328227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938117634487603-0.938242171615994)×R²
    abs(0.52270395-0.52232046)×0.000124537128391111×R²
    0.000383490000000042×0.000124537128391111×6371000²
    0.000383490000000042×0.000124537128391111×40589641000000     		ar = 5254028.22531333m²