Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9554 / 5973
↖ ↑ ↗
← N 81.237476°
W127.518311°		 ← 93.06 m → N 81.237476°
W127.512817°		 →
↑
93.08 m
↓
↑
93.08 m
↓
N 81.236639°
W127.518311°		 ← 93.07 m →
8 662 m²		 N 81.236639°
W127.512817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145790100097656 y=0.0911483764648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145790100097656 × 216)
    floor (0.145790100097656 × 65536)
    floor (9554.5)     		tx = 9554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0911483764648438 × 216)
    floor (0.0911483764648438 × 65536)
    floor (5973.5)     		ty = 5973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9554 / 5973 ti = "16/9554/5973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9554/5973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9554 ÷ 216
    9554 ÷ 65536     		x = 0.145782470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5973 ÷ 216
    5973 ÷ 65536     		y = 0.0911407470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.145782470703125 × 2 - 1) × π
    -0.70843505859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.22561438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0911407470703125 × 2 - 1) × π
    0.817718505859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.56893845063881
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22561438} λ = -2.22561438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56893845063881))-π/2
    2×atan(13.0519617825957)-π/2
    2×1.49432888332239-π/2
    2.98865776664479-1.57079632675     		φ = 1.41786144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22561438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.518311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41786144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.237476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9554 KachelY 5973 -2.22561438 1.41786144 -127.518311 81.237476
    Oben rechts KachelX + 1 9555 KachelY 5973 -2.22551850 1.41786144 -127.512817 81.237476
    Unten links KachelX 9554 KachelY + 1 5974 -2.22561438 1.41784683 -127.518311 81.236639
    Unten rechts KachelX + 1 9555 KachelY + 1 5974 -2.22551850 1.41784683 -127.512817 81.236639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41786144-1.41784683) × R
    1.4610000000026e-05 × 6371000     		dl = 93.0803100001656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41786144-1.41784683) × R
    1.4610000000026e-05 × 6371000     		dr = 93.0803100001656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22561438--2.22551850) × cos(1.41786144) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.152339415890682 × 6371000     		do = 93.0567576590978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22561438--2.22551850) × cos(1.41784683) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.152353855349953 × 6371000     		du = 93.0655780241639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41786144)-sin(1.41784683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152339415890682-0.152353855349953)×R²
    abs(-2.22551850--2.22561438)×1.44394592710428e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.44394592710428e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.44394592710428e-05×40589641000000     		ar = 8662.16235199635m²