Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9553 / 7423
↖ ↑ ↗
← N 16.657244°
E 29.904785°		 ← 2 340.75 m → N 16.657244°
E 29.926758°		 →
↑
2 340.90 m
↓
↑
2 340.90 m
↓
N 16.636192°
E 29.904785°		 ← 2 341.01 m →
5 479 756 m²		 N 16.636192°
E 29.926758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583099365234375 y=0.453094482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583099365234375 × 214)
    floor (0.583099365234375 × 16384)
    floor (9553.5)     		tx = 9553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.453094482421875 × 214)
    floor (0.453094482421875 × 16384)
    floor (7423.5)     		ty = 7423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9553 / 7423 ti = "14/9553/7423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9553/7423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9553 ÷ 214
    9553 ÷ 16384     		x = 0.58306884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7423 ÷ 214
    7423 ÷ 16384     		y = 0.45306396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58306884765625 × 2 - 1) × π
    0.1661376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.52193696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45306396484375 × 2 - 1) × π
    0.0938720703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.294907806462585
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52193696} λ = 0.52193696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.294907806462585))-π/2
    2×atan(1.34300253682395)-π/2
    2×0.930760036352635-π/2
    1.86152007270527-1.57079632675     		φ = 0.29072375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52193696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.904785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29072375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.657244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9553 KachelY 7423 0.52193696 0.29072375 29.904785 16.657244
    Oben rechts KachelX + 1 9554 KachelY 7423 0.52232046 0.29072375 29.926758 16.657244
    Unten links KachelX 9553 KachelY + 1 7424 0.52193696 0.29035632 29.904785 16.636192
    Unten rechts KachelX + 1 9554 KachelY + 1 7424 0.52232046 0.29035632 29.926758 16.636192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29072375-0.29035632) × R
    0.000367430000000002 × 6371000     		dl = 2340.89653000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29072375-0.29035632) × R
    0.000367430000000002 × 6371000     		dr = 2340.89653000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52193696-0.52232046) × cos(0.29072375) × R
    0.000383499999999981 × 0.958036666637048 × 6371000     		do = 2340.75038980585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52193696-0.52232046) × cos(0.29035632) × R
    0.000383499999999981 × 0.958141924186794 × 6371000     		du = 2341.00756331411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29072375)-sin(0.29035632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958036666637048-0.958141924186794)×R²
    abs(0.52232046-0.52193696)×0.000105257549746662×R²
    0.000383499999999981×0.000105257549746662×6371000²
    0.000383499999999981×0.000105257549746662×40589641000000     		ar = 5479755.53502903m²