Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9552 / 7729
↖ ↑ ↗
← N 10.120301°
E 29.882813°		 ← 2 405.20 m → N 10.120301°
E 29.904785°		 →
↑
2 405.31 m
↓
↑
2 405.31 m
↓
N 10.098670°
E 29.882813°		 ← 2 405.36 m →
5 785 442 m²		 N 10.098670°
E 29.904785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583038330078125 y=0.471771240234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583038330078125 × 214)
    floor (0.583038330078125 × 16384)
    floor (9552.5)     		tx = 9552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.471771240234375 × 214)
    floor (0.471771240234375 × 16384)
    floor (7729.5)     		ty = 7729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9552 / 7729 ti = "14/9552/7729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9552/7729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9552 ÷ 214
    9552 ÷ 16384     		x = 0.5830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7729 ÷ 214
    7729 ÷ 16384     		y = 0.47174072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5830078125 × 2 - 1) × π
    0.166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52155347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47174072265625 × 2 - 1) × π
    0.0565185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.177558276192688
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52155347} λ = 0.52155347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.177558276192688))-π/2
    2×atan(1.19429765499478)-π/2
    2×0.873714455783146-π/2
    1.74742891156629-1.57079632675     		φ = 0.17663258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52155347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.882813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17663258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.120301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9552 KachelY 7729 0.52155347 0.17663258 29.882813 10.120301
    Oben rechts KachelX + 1 9553 KachelY 7729 0.52193696 0.17663258 29.904785 10.120301
    Unten links KachelX 9552 KachelY + 1 7730 0.52155347 0.17625504 29.882813 10.098670
    Unten rechts KachelX + 1 9553 KachelY + 1 7730 0.52193696 0.17625504 29.904785 10.098670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17663258-0.17625504) × R
    0.00037754000000001 × 6371000     		dl = 2405.30734000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17663258-0.17625504) × R
    0.00037754000000001 × 6371000     		dr = 2405.30734000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52155347-0.52193696) × cos(0.17663258) × R
    0.000383490000000042 × 0.984440981263803 × 6371000     		do = 2405.2007653061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52155347-0.52193696) × cos(0.17625504) × R
    0.000383490000000042 × 0.984507250751501 × 6371000     		du = 2405.36267589857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17663258)-sin(0.17625504))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984440981263803-0.984507250751501)×R²
    abs(0.52193696-0.52155347)×6.62694876985004e-05×R²
    0.000383490000000042×6.62694876985004e-05×6371000²
    0.000383490000000042×6.62694876985004e-05×40589641000000     		ar = 5785441.84605225m²