Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9552 / 7246
↖ ↑ ↗
← N 20.344627°
E 29.882813°		 ← 2 290.80 m → N 20.344627°
E 29.904785°		 →
↑
2 291.01 m
↓
↑
2 291.01 m
↓
N 20.324024°
E 29.882813°		 ← 2 291.11 m →
5 248 606 m²		 N 20.324024°
E 29.904785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583038330078125 y=0.442291259765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583038330078125 × 214)
    floor (0.583038330078125 × 16384)
    floor (9552.5)     		tx = 9552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442291259765625 × 214)
    floor (0.442291259765625 × 16384)
    floor (7246.5)     		ty = 7246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9552 / 7246 ti = "14/9552/7246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9552/7246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9552 ÷ 214
    9552 ÷ 16384     		x = 0.5830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7246 ÷ 214
    7246 ÷ 16384     		y = 0.4422607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5830078125 × 2 - 1) × π
    0.166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52155347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4422607421875 × 2 - 1) × π
    0.115478515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.362786456324585
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52155347} λ = 0.52155347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.362786456324585))-π/2
    2×atan(1.43732889397233)-π/2
    2×0.962938526022477-π/2
    1.92587705204495-1.57079632675     		φ = 0.35508073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52155347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.882813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35508073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.344627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9552 KachelY 7246 0.52155347 0.35508073 29.882813 20.344627
    Oben rechts KachelX + 1 9553 KachelY 7246 0.52193696 0.35508073 29.904785 20.344627
    Unten links KachelX 9552 KachelY + 1 7247 0.52155347 0.35472113 29.882813 20.324024
    Unten rechts KachelX + 1 9553 KachelY + 1 7247 0.52193696 0.35472113 29.904785 20.324024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35508073-0.35472113) × R
    0.000359600000000015 × 6371000     		dl = 2291.0116000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35508073-0.35472113) × R
    0.000359600000000015 × 6371000     		dr = 2291.0116000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52155347-0.52193696) × cos(0.35508073) × R
    0.000383490000000042 × 0.937618424793717 × 6371000     		do = 2290.80320283276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52155347-0.52193696) × cos(0.35472113) × R
    0.000383490000000042 × 0.937743384883577 × 6371000     		du = 2291.10850717247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35508073)-sin(0.35472113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937618424793717-0.937743384883577)×R²
    abs(0.52193696-0.52155347)×0.000124960089859627×R²
    0.000383490000000042×0.000124960089859627×6371000²
    0.000383490000000042×0.000124960089859627×40589641000000     		ar = 5248606.49545805m²