Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9551 / 5489
↖ ↑ ↗
← N 81.633350°
W127.534790°		 ← 88.88 m → N 81.633350°
W127.529297°		 →
↑
88.88 m
↓
↑
88.88 m
↓
N 81.632550°
W127.534790°		 ← 88.89 m →
7 900 m²		 N 81.632550°
W127.529297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145744323730469 y=0.0837631225585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145744323730469 × 216)
    floor (0.145744323730469 × 65536)
    floor (9551.5)     		tx = 9551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0837631225585938 × 216)
    floor (0.0837631225585938 × 65536)
    floor (5489.5)     		ty = 5489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9551 / 5489 ti = "16/9551/5489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9551/5489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9551 ÷ 216
    9551 ÷ 65536     		x = 0.145736694335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5489 ÷ 216
    5489 ÷ 65536     		y = 0.0837554931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.145736694335938 × 2 - 1) × π
    -0.708526611328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.22590200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0837554931640625 × 2 - 1) × π
    0.832489013671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.61534136947102
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22590200} λ = -2.22590200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61534136947102))-π/2
    2×atan(13.6718827447513)-π/2
    2×1.49778352888102-π/2
    2.99556705776203-1.57079632675     		φ = 1.42477073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22590200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.534790°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42477073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.633350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9551 KachelY 5489 -2.22590200 1.42477073 -127.534790 81.633350
    Oben rechts KachelX + 1 9552 KachelY 5489 -2.22580612 1.42477073 -127.529297 81.633350
    Unten links KachelX 9551 KachelY + 1 5490 -2.22590200 1.42475678 -127.534790 81.632550
    Unten rechts KachelX + 1 9552 KachelY + 1 5490 -2.22580612 1.42475678 -127.529297 81.632550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42477073-1.42475678) × R
    1.39500000000403e-05 × 6371000     		dl = 88.8754500002569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42477073-1.42475678) × R
    1.39500000000403e-05 × 6371000     		dr = 88.8754500002569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22590200--2.22580612) × cos(1.42477073) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.145507187626125 × 6371000     		do = 88.8832809119978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22590200--2.22580612) × cos(1.42475678) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.14552098914483 × 6371000     		du = 88.8917115901251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42477073)-sin(1.42475678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145507187626125-0.14552098914483)×R²
    abs(-2.22580612--2.22590200)×1.38015187051144e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.38015187051144e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.38015187051144e-05×40589641000000     		ar = 7899.91622867913m²