Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9550 / 7410
↖ ↑ ↗
← N 16.930705°
E 29.838867°		 ← 2 337.32 m → N 16.930705°
E 29.860840°		 →
↑
2 337.52 m
↓
↑
2 337.52 m
↓
N 16.909683°
E 29.838867°		 ← 2 337.58 m →
5 463 837 m²		 N 16.909683°
E 29.860840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582916259765625 y=0.452301025390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582916259765625 × 214)
    floor (0.582916259765625 × 16384)
    floor (9550.5)     		tx = 9550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452301025390625 × 214)
    floor (0.452301025390625 × 16384)
    floor (7410.5)     		ty = 7410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9550 / 7410 ti = "14/9550/7410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9550/7410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9550 ÷ 214
    9550 ÷ 16384     		x = 0.5828857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7410 ÷ 214
    7410 ÷ 16384     		y = 0.4522705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5828857421875 × 2 - 1) × π
    0.165771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.52078648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4522705078125 × 2 - 1) × π
    0.095458984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.299893244023071
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52078648} λ = 0.52078648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.299893244023071))-π/2
    2×atan(1.34971470977207)-π/2
    2×0.933146437722173-π/2
    1.86629287544435-1.57079632675     		φ = 0.29549655
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52078648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.838867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29549655 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.930705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9550 KachelY 7410 0.52078648 0.29549655 29.838867 16.930705
    Oben rechts KachelX + 1 9551 KachelY 7410 0.52116997 0.29549655 29.860840 16.930705
    Unten links KachelX 9550 KachelY + 1 7411 0.52078648 0.29512965 29.838867 16.909683
    Unten rechts KachelX + 1 9551 KachelY + 1 7411 0.52116997 0.29512965 29.860840 16.909683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29549655-0.29512965) × R
    0.000366900000000003 × 6371000     		dl = 2337.51990000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29549655-0.29512965) × R
    0.000366900000000003 × 6371000     		dr = 2337.51990000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52078648-0.52116997) × cos(0.29549655) × R
    0.000383489999999931 × 0.956657657498892 × 6371000     		do = 2337.32013776763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52078648-0.52116997) × cos(0.29512965) × R
    0.000383489999999931 × 0.956764439858049 × 6371000     		du = 2337.58103000683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29549655)-sin(0.29512965))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.956657657498892-0.956764439858049)×R²
    abs(0.52116997-0.52078648)×0.000106782359157065×R²
    0.000383489999999931×0.000106782359157065×6371000²
    0.000383489999999931×0.000106782359157065×40589641000000     		ar = 5463837.31639597m²