Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9550 / 7322
↖ ↑ ↗
← N 18.771115°
E 29.838867°		 ← 2 313.26 m → N 18.771115°
E 29.860840°		 →
↑
2 313.44 m
↓
↑
2 313.44 m
↓
N 18.750310°
E 29.838867°		 ← 2 313.55 m →
5 351 922 m²		 N 18.750310°
E 29.860840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582916259765625 y=0.446929931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582916259765625 × 214)
    floor (0.582916259765625 × 16384)
    floor (9550.5)     		tx = 9550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446929931640625 × 214)
    floor (0.446929931640625 × 16384)
    floor (7322.5)     		ty = 7322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9550 / 7322 ti = "14/9550/7322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9550/7322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9550 ÷ 214
    9550 ÷ 16384     		x = 0.5828857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7322 ÷ 214
    7322 ÷ 16384     		y = 0.4468994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5828857421875 × 2 - 1) × π
    0.165771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.52078648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4468994140625 × 2 - 1) × π
    0.106201171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.333640821355591
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52078648} λ = 0.52078648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.333640821355591))-π/2
    2×atan(1.39604162517408)-π/2
    2×0.949207044447175-π/2
    1.89841408889435-1.57079632675     		φ = 0.32761776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52078648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.838867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32761776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.771115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9550 KachelY 7322 0.52078648 0.32761776 29.838867 18.771115
    Oben rechts KachelX + 1 9551 KachelY 7322 0.52116997 0.32761776 29.860840 18.771115
    Unten links KachelX 9550 KachelY + 1 7323 0.52078648 0.32725464 29.838867 18.750310
    Unten rechts KachelX + 1 9551 KachelY + 1 7323 0.52116997 0.32725464 29.860840 18.750310
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32761776-0.32725464) × R
    0.000363119999999995 × 6371000     		dl = 2313.43751999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32761776-0.32725464) × R
    0.000363119999999995 × 6371000     		dr = 2313.43751999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52078648-0.52116997) × cos(0.32761776) × R
    0.000383489999999931 × 0.946811606636437 × 6371000     		do = 2313.26412067739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52078648-0.52116997) × cos(0.32725464) × R
    0.000383489999999931 × 0.946928392020261 × 6371000     		du = 2313.5494524544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32761776)-sin(0.32725464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946811606636437-0.946928392020261)×R²
    abs(0.52116997-0.52078648)×0.000116785383823759×R²
    0.000383489999999931×0.000116785383823759×6371000²
    0.000383489999999931×0.000116785383823759×40589641000000     		ar = 5351922.11787126m²