Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9550 / 5490
↖ ↑ ↗
← N 81.632550°
W127.540283°		 ← 88.88 m → N 81.632550°
W127.534790°		 →
↑
88.88 m
↓
↑
88.88 m
↓
N 81.631751°
W127.540283°		 ← 88.89 m →
7 900 m²		 N 81.631751°
W127.534790°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145729064941406 y=0.0837783813476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145729064941406 × 216)
    floor (0.145729064941406 × 65536)
    floor (9550.5)     		tx = 9550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0837783813476562 × 216)
    floor (0.0837783813476562 × 65536)
    floor (5490.5)     		ty = 5490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9550 / 5490 ti = "16/9550/5490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9550/5490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9550 ÷ 216
    9550 ÷ 65536     		x = 0.145721435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5490 ÷ 216
    5490 ÷ 65536     		y = 0.083770751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.145721435546875 × 2 - 1) × π
    -0.70855712890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.22599787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.083770751953125 × 2 - 1) × π
    0.83245849609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.61524549567178
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22599787} λ = -2.22599787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61524549567178))-π/2
    2×atan(13.6705720322423)-π/2
    2×1.4977765533868-π/2
    2.99555310677359-1.57079632675     		φ = 1.42475678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22599787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.540283°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42475678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.632550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9550 KachelY 5490 -2.22599787 1.42475678 -127.540283 81.632550
    Oben rechts KachelX + 1 9551 KachelY 5490 -2.22590200 1.42475678 -127.534790 81.632550
    Unten links KachelX 9550 KachelY + 1 5491 -2.22599787 1.42474283 -127.540283 81.631751
    Unten rechts KachelX + 1 9551 KachelY + 1 5491 -2.22590200 1.42474283 -127.534790 81.631751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42475678-1.42474283) × R
    1.39500000000403e-05 × 6371000     		dl = 88.8754500002569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42475678-1.42474283) × R
    1.39500000000403e-05 × 6371000     		dr = 88.8754500002569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22599787--2.22590200) × cos(1.42475678) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.14552098914483 × 6371000     		do = 88.882440447963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22599787--2.22590200) × cos(1.42474283) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.145534790635216 × 6371000     		du = 88.8908702294988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42475678)-sin(1.42474283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14552098914483-0.145534790635216)×R²
    abs(-2.22590200--2.22599787)×1.38014903863781e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.38014903863781e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.38014903863781e-05×40589641000000     		ar = 7899.84149266001m²