Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9549 / 5491
↖ ↑ ↗
← N 81.631751°
W127.545776°		 ← 88.89 m → N 81.631751°
W127.540283°		 →
↑
88.94 m
↓
↑
88.94 m
↓
N 81.630951°
W127.545776°		 ← 88.90 m →
7 906 m²		 N 81.630951°
W127.540283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145713806152344 y=0.0837936401367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145713806152344 × 216)
    floor (0.145713806152344 × 65536)
    floor (9549.5)     		tx = 9549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0837936401367188 × 216)
    floor (0.0837936401367188 × 65536)
    floor (5491.5)     		ty = 5491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9549 / 5491 ti = "16/9549/5491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9549/5491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9549 ÷ 216
    9549 ÷ 65536     		x = 0.145706176757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5491 ÷ 216
    5491 ÷ 65536     		y = 0.0837860107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.145706176757812 × 2 - 1) × π
    -0.708587646484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.22609374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0837860107421875 × 2 - 1) × π
    0.832427978515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.61514962187254
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22609374} λ = -2.22609374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61514962187254))-π/2
    2×atan(13.6692614453903)-π/2
    2×1.4977695772309-π/2
    2.99553915446179-1.57079632675     		φ = 1.42474283
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22609374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.545776°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42474283 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.631751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9549 KachelY 5491 -2.22609374 1.42474283 -127.545776 81.631751
    Oben rechts KachelX + 1 9550 KachelY 5491 -2.22599787 1.42474283 -127.540283 81.631751
    Unten links KachelX 9549 KachelY + 1 5492 -2.22609374 1.42472887 -127.545776 81.630951
    Unten rechts KachelX + 1 9550 KachelY + 1 5492 -2.22599787 1.42472887 -127.540283 81.630951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42474283-1.42472887) × R
    1.39599999999795e-05 × 6371000     		dl = 88.9391599998697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42474283-1.42472887) × R
    1.39599999999795e-05 × 6371000     		dr = 88.9391599998697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22609374--2.22599787) × cos(1.42474283) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.145534790635216 × 6371000     		do = 88.8908702294988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22609374--2.22599787) × cos(1.42472887) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.145548601990792 × 6371000     		du = 88.8993060365717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42474283)-sin(1.42472887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145534790635216-0.145548601990792)×R²
    abs(-2.22599787--2.22609374)×1.38113555759045e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.38113555759045e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.38113555759045e-05×40589641000000     		ar = 7906.25446686964m²