Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9548 / 7324
↖ ↑ ↗
← N 18.729502°
E 29.794922°		 ← 2 313.83 m → N 18.729502°
E 29.816894°		 →
↑
2 314.01 m
↓
↑
2 314.01 m
↓
N 18.708692°
E 29.794922°		 ← 2 314.12 m →
5 354 568 m²		 N 18.708692°
E 29.816894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582794189453125 y=0.447052001953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582794189453125 × 214)
    floor (0.582794189453125 × 16384)
    floor (9548.5)     		tx = 9548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447052001953125 × 214)
    floor (0.447052001953125 × 16384)
    floor (7324.5)     		ty = 7324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9548 / 7324 ti = "14/9548/7324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9548/7324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9548 ÷ 214
    9548 ÷ 16384     		x = 0.582763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7324 ÷ 214
    7324 ÷ 16384     		y = 0.447021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582763671875 × 2 - 1) × π
    0.16552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.52001949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447021484375 × 2 - 1) × π
    0.10595703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.33287383096167
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52001949} λ = 0.52001949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.33287383096167))-π/2
    2×atan(1.39497128518077)-π/2
    2×0.948843901964277-π/2
    1.89768780392855-1.57079632675     		φ = 0.32689148
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52001949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.794922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32689148 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.729502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9548 KachelY 7324 0.52001949 0.32689148 29.794922 18.729502
    Oben rechts KachelX + 1 9549 KachelY 7324 0.52040298 0.32689148 29.816894 18.729502
    Unten links KachelX 9548 KachelY + 1 7325 0.52001949 0.32652827 29.794922 18.708692
    Unten rechts KachelX + 1 9549 KachelY + 1 7325 0.52040298 0.32652827 29.816894 18.708692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32689148-0.32652827) × R
    0.000363210000000003 × 6371000     		dl = 2314.01091000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32689148-0.32652827) × R
    0.000363210000000003 × 6371000     		dr = 2314.01091000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52001949-0.52040298) × cos(0.32689148) × R
    0.000383489999999931 × 0.947045065389796 × 6371000     		do = 2313.83451055645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52001949-0.52040298) × cos(0.32652827) × R
    0.000383489999999931 × 0.947161629895954 × 6371000     		du = 2314.11930268188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32689148)-sin(0.32652827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947045065389796-0.947161629895954)×R²
    abs(0.52040298-0.52001949)×0.000116564506157824×R²
    0.000383489999999931×0.000116564506157824×6371000²
    0.000383489999999931×0.000116564506157824×40589641000000     		ar = 5354567.86626997m²