Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9546 / 7749
↖ ↑ ↗
← N  9.687399°
E 29.750977°		 ← 2 408.38 m → N  9.687399°
E 29.772949°		 →
↑
2 408.49 m
↓
↑
2 408.49 m
↓
N  9.665738°
E 29.750977°		 ← 2 408.53 m →
5 800 743 m²		 N  9.665738°
E 29.772949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582672119140625 y=0.472991943359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582672119140625 × 214)
    floor (0.582672119140625 × 16384)
    floor (9546.5)     		tx = 9546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.472991943359375 × 214)
    floor (0.472991943359375 × 16384)
    floor (7749.5)     		ty = 7749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9546 / 7749 ti = "14/9546/7749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9546/7749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9546 ÷ 214
    9546 ÷ 16384     		x = 0.5826416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7749 ÷ 214
    7749 ÷ 16384     		y = 0.47296142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5826416015625 × 2 - 1) × π
    0.165283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51925250
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47296142578125 × 2 - 1) × π
    0.0540771484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.169888372253479
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51925250} λ = 0.51925250}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.169888372253479))-π/2
    2×atan(1.18517254579549)-π/2
    2×0.869936662679707-π/2
    1.73987332535941-1.57079632675     		φ = 0.16907700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51925250} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.750977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.16907700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 9.687399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9546 KachelY 7749 0.51925250 0.16907700 29.750977 9.687399
    Oben rechts KachelX + 1 9547 KachelY 7749 0.51963599 0.16907700 29.772949 9.687399
    Unten links KachelX 9546 KachelY + 1 7750 0.51925250 0.16869896 29.750977 9.665738
    Unten rechts KachelX + 1 9547 KachelY + 1 7750 0.51963599 0.16869896 29.772949 9.665738
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.16907700-0.16869896) × R
    0.000378039999999996 × 6371000     		dl = 2408.49283999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.16907700-0.16869896) × R
    0.000378039999999996 × 6371000     		dr = 2408.49283999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51925250-0.51963599) × cos(0.16907700) × R
    0.000383490000000042 × 0.985740502371485 × 6371000     		do = 2408.3757744963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51925250-0.51963599) × cos(0.16869896) × R
    0.000383490000000042 × 0.985804045698839 × 6371000     		du = 2408.5310244935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.16907700)-sin(0.16869896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985740502371485-0.985804045698839)×R²
    abs(0.51963599-0.51925250)×6.35433273544761e-05×R²
    0.000383490000000042×6.35433273544761e-05×6371000²
    0.000383490000000042×6.35433273544761e-05×40589641000000     		ar = 5800742.83724096m²