Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9545 / 7367
↖ ↑ ↗
← N 17.832375°
E 29.729004°		 ← 2 325.89 m → N 17.832375°
E 29.750977°		 →
↑
2 326.05 m
↓
↑
2 326.05 m
↓
N 17.811456°
E 29.729004°		 ← 2 326.17 m →
5 410 470 m²		 N 17.811456°
E 29.750977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582611083984375 y=0.449676513671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582611083984375 × 214)
    floor (0.582611083984375 × 16384)
    floor (9545.5)     		tx = 9545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449676513671875 × 214)
    floor (0.449676513671875 × 16384)
    floor (7367.5)     		ty = 7367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9545 / 7367 ti = "14/9545/7367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9545/7367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9545 ÷ 214
    9545 ÷ 16384     		x = 0.58258056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7367 ÷ 214
    7367 ÷ 16384     		y = 0.44964599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58258056640625 × 2 - 1) × π
    0.1651611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51886900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44964599609375 × 2 - 1) × π
    0.1007080078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.316383537492371
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51886900} λ = 0.51886900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.316383537492371))-π/2
    2×atan(1.37215642815174)-π/2
    2×0.941014986142679-π/2
    1.88202997228536-1.57079632675     		φ = 0.31123365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51886900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.729004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31123365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.832375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9545 KachelY 7367 0.51886900 0.31123365 29.729004 17.832375
    Oben rechts KachelX + 1 9546 KachelY 7367 0.51925250 0.31123365 29.750977 17.832375
    Unten links KachelX 9545 KachelY + 1 7368 0.51886900 0.31086855 29.729004 17.811456
    Unten rechts KachelX + 1 9546 KachelY + 1 7368 0.51925250 0.31086855 29.750977 17.811456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31123365-0.31086855) × R
    0.000365099999999952 × 6371000     		dl = 2326.05209999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31123365-0.31086855) × R
    0.000365099999999952 × 6371000     		dr = 2326.05209999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51886900-0.51925250) × cos(0.31123365) × R
    0.000383499999999981 × 0.95195650971984 × 6371000     		do = 2325.89487313341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51886900-0.51925250) × cos(0.31086855) × R
    0.000383499999999981 × 0.952068252030094 × 6371000     		du = 2326.1678907176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31123365)-sin(0.31086855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95195650971984-0.952068252030094)×R²
    abs(0.51925250-0.51886900)×0.000111742310254681×R²
    0.000383499999999981×0.000111742310254681×6371000²
    0.000383499999999981×0.000111742310254681×40589641000000     		ar = 5410470.24069318m²