Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9545 / 7339
↖ ↑ ↗
← N 18.417079°
E 29.729004°		 ← 2 318.14 m → N 18.417079°
E 29.750977°		 →
↑
2 318.22 m
↓
↑
2 318.22 m
↓
N 18.396230°
E 29.729004°		 ← 2 318.42 m →
5 374 270 m²		 N 18.396230°
E 29.750977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582611083984375 y=0.447967529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582611083984375 × 214)
    floor (0.582611083984375 × 16384)
    floor (9545.5)     		tx = 9545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447967529296875 × 214)
    floor (0.447967529296875 × 16384)
    floor (7339.5)     		ty = 7339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9545 / 7339 ti = "14/9545/7339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9545/7339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9545 ÷ 214
    9545 ÷ 16384     		x = 0.58258056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7339 ÷ 214
    7339 ÷ 16384     		y = 0.44793701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58258056640625 × 2 - 1) × π
    0.1651611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51886900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44793701171875 × 2 - 1) × π
    0.1041259765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.327121403007263
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51886900} λ = 0.51886900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.327121403007263))-π/2
    2×atan(1.38696984927034)-π/2
    2×0.946117493989223-π/2
    1.89223498797845-1.57079632675     		φ = 0.32143866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51886900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.729004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32143866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.417079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9545 KachelY 7339 0.51886900 0.32143866 29.729004 18.417079
    Oben rechts KachelX + 1 9546 KachelY 7339 0.51925250 0.32143866 29.750977 18.417079
    Unten links KachelX 9545 KachelY + 1 7340 0.51886900 0.32107479 29.729004 18.396230
    Unten rechts KachelX + 1 9546 KachelY + 1 7340 0.51925250 0.32107479 29.750977 18.396230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32143866-0.32107479) × R
    0.000363869999999988 × 6371000     		dl = 2318.21576999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32143866-0.32107479) × R
    0.000363869999999988 × 6371000     		dr = 2318.21576999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51886900-0.51925250) × cos(0.32143866) × R
    0.000383499999999981 × 0.948781881574137 × 6371000     		do = 2318.13837243952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51886900-0.51925250) × cos(0.32107479) × R
    0.000383499999999981 × 0.948896776888081 × 6371000     		du = 2318.41909368983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32143866)-sin(0.32107479))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948781881574137-0.948896776888081)×R²
    abs(0.51925250-0.51886900)×0.000114895313943597×R²
    0.000383499999999981×0.000114895313943597×6371000²
    0.000383499999999981×0.000114895313943597×40589641000000     		ar = 5374270.37754273m²