Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 9540 / 5458
↖ ↑ ↗
← N 81.658092°
W127.595215°		 ← 88.62 m → N 81.658092°
W127.589721°		 →
↑
88.62 m
↓
↑
88.62 m
↓
N 81.657295°
W127.595215°		 ← 88.63 m →
7 854 m²		 N 81.657295°
W127.589721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145576477050781 y=0.0832901000976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145576477050781 × 216)
    floor (0.145576477050781 × 65536)
    floor (9540.5)     		tx = 9540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0832901000976562 × 216)
    floor (0.0832901000976562 × 65536)
    floor (5458.5)     		ty = 5458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9540 / 5458 ti = "16/9540/5458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9540/5458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9540 ÷ 216
    9540 ÷ 65536     		x = 0.14556884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5458 ÷ 216
    5458 ÷ 65536     		y = 0.083282470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14556884765625 × 2 - 1) × π
    -0.7088623046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.22695661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.083282470703125 × 2 - 1) × π
    0.83343505859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.61831345724747
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22695661} λ = -2.22695661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61831345724747))-π/2
    2×atan(13.7125772241648)-π/2
    2×1.49799944134357-π/2
    2.99599888268714-1.57079632675     		φ = 1.42520256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22695661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.595215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42520256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.658092°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9540 KachelY 5458 -2.22695661 1.42520256 -127.595215 81.658092
    Oben rechts KachelX + 1 9541 KachelY 5458 -2.22686073 1.42520256 -127.589721 81.658092
    Unten links KachelX 9540 KachelY + 1 5459 -2.22695661 1.42518865 -127.595215 81.657295
    Unten rechts KachelX + 1 9541 KachelY + 1 5459 -2.22686073 1.42518865 -127.589721 81.657295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42520256-1.42518865) × R
    1.39100000000614e-05 × 6371000     		dl = 88.620610000391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42520256-1.42518865) × R
    1.39100000000614e-05 × 6371000     		dr = 88.620610000391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22695661--2.22686073) × cos(1.42520256) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.145079939955211 × 6371000     		do = 88.6222960398937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22695661--2.22686073) × cos(1.42518865) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.145093702772494 × 6371000     		du = 88.6307030771998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42520256)-sin(1.42518865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145079939955211-0.145093702772494)×R²
    abs(-2.22686073--2.22695661)×1.37628172826587e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.37628172826587e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.37628172826587e-05×40589641000000     		ar = 7854.13445311931m²