Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 954 / 536
↖ ↑ ↗
← N 64.774125°
W 12.304687°		 ← 8 330.26 m → N 64.774125°
W 12.128906°		 →
↑
8 341.87 m
↓
↑
8 341.87 m
↓
N 64.699105°
W 12.304687°		 ← 8 353.40 m →
69 586 453 m²		 N 64.699105°
W 12.128906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466064453125 y=0.261962890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466064453125 × 211)
    floor (0.466064453125 × 2048)
    floor (954.5)     		tx = 954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261962890625 × 211)
    floor (0.261962890625 × 2048)
    floor (536.5)     		ty = 536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 954 / 536 ti = "11/954/536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/954/536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 954 ÷ 211
    954 ÷ 2048     		x = 0.4658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 536 ÷ 211
    536 ÷ 2048     		y = 0.26171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4658203125 × 2 - 1) × π
    -0.068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21475731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26171875 × 2 - 1) × π
    0.4765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.49716524893359
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21475731} λ = -0.21475731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49716524893359))-π/2
    2×atan(4.46900258747256)-π/2
    2×1.35065904179333-π/2
    2.70131808358667-1.57079632675     		φ = 1.13052176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21475731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.304687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13052176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.774125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 954 KachelY 536 -0.21475731 1.13052176 -12.304687 64.774125
    Oben rechts KachelX + 1 955 KachelY 536 -0.21168935 1.13052176 -12.128906 64.774125
    Unten links KachelX 954 KachelY + 1 537 -0.21475731 1.12921241 -12.304687 64.699105
    Unten rechts KachelX + 1 955 KachelY + 1 537 -0.21168935 1.12921241 -12.128906 64.699105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13052176-1.12921241) × R
    0.00130934999999988 × 6371000     		dl = 8341.86884999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13052176-1.12921241) × R
    0.00130934999999988 × 6371000     		dr = 8341.86884999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21475731--0.21168935) × cos(1.13052176) × R
    0.00306796000000001 × 0.426187863772093 × 6371000     		do = 8330.25654640709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21475731--0.21168935) × cos(1.12921241) × R
    0.00306796000000001 × 0.427371981524642 × 6371000     		du = 8353.40128021669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13052176)-sin(1.12921241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426187863772093-0.427371981524642)×R²
    abs(-0.21168935--0.21475731)×0.00118411775254906×R²
    0.00306796000000001×0.00118411775254906×6371000²
    0.00306796000000001×0.00118411775254906×40589641000000     		ar = 69586452.705548m²