Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 954 / 222
↖ ↑ ↗
← N 70.844672°
E155.390625°		 ← 12.827 km → N 70.844672°
E155.742188°		 →
↑
12.864 km
↓
↑
12.864 km
↓
N 70.728980°
E155.390625°		 ← 12.902 km →
165.495 km²		 N 70.728980°
E155.742188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.93212890625 y=0.21728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.93212890625 × 210)
    floor (0.93212890625 × 1024)
    floor (954.5)     		tx = 954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21728515625 × 210)
    floor (0.21728515625 × 1024)
    floor (222.5)     		ty = 222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 954 / 222 ti = "10/954/222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/954/222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 954 ÷ 210
    954 ÷ 1024     		x = 0.931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 222 ÷ 210
    222 ÷ 1024     		y = 0.216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931640625 × 2 - 1) × π
    0.86328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.71207803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216796875 × 2 - 1) × π
    0.56640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.77941771389648
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71207803} λ = 2.71207803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77941771389648))-π/2
    2×atan(5.92640455068764)-π/2
    2×1.40363456087172-π/2
    2.80726912174344-1.57079632675     		φ = 1.23647279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71207803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.390625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23647279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.844672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 954 KachelY 222 2.71207803 1.23647279 155.390625 70.844672
    Oben rechts KachelX + 1 955 KachelY 222 2.71821396 1.23647279 155.742188 70.844672
    Unten links KachelX 954 KachelY + 1 223 2.71207803 1.23445357 155.390625 70.728980
    Unten rechts KachelX + 1 955 KachelY + 1 223 2.71821396 1.23445357 155.742188 70.728980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23647279-1.23445357) × R
    0.00201922000000021 × 6371000     		dl = 12864.4506200013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23647279-1.23445357) × R
    0.00201922000000021 × 6371000     		dr = 12864.4506200013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71207803-2.71821396) × cos(1.23647279) × R
    0.00613593000000012 × 0.328130235874851 × 6371000     		do = 12827.2704719662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71207803-2.71821396) × cos(1.23445357) × R
    0.00613593000000012 × 0.330036986468592 × 6371000     		du = 12901.8091853014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23647279)-sin(1.23445357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328130235874851-0.330036986468592)×R²
    abs(2.71821396-2.71207803)×0.00190675059374112×R²
    0.00613593000000012×0.00190675059374112×6371000²
    0.00613593000000012×0.00190675059374112×40589641000000     		ar = 165495293.604964m²