Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 954 / 1331
↖ ↑ ↗
← N 76.320754°
W138.076172°		 ← 1 155.59 m → N 76.320754°
W138.032227°		 →
↑
1 156.02 m
↓
↑
1 156.02 m
↓
N 76.310357°
W138.076172°		 ← 1 156.45 m →
1 336 379 m²		 N 76.310357°
W138.032227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.11651611328125 y=0.16253662109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.11651611328125 × 213)
    floor (0.11651611328125 × 8192)
    floor (954.5)     		tx = 954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16253662109375 × 213)
    floor (0.16253662109375 × 8192)
    floor (1331.5)     		ty = 1331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 954 / 1331 ti = "13/954/1331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/954/1331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 954 ÷ 213
    954 ÷ 8192     		x = 0.116455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1331 ÷ 213
    1331 ÷ 8192     		y = 0.1624755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.116455078125 × 2 - 1) × π
    -0.76708984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.40988382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1624755859375 × 2 - 1) × π
    0.675048828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.12072843919128
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.40988382} λ = -2.40988382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12072843919128))-π/2
    2×atan(8.33720842562782)-π/2
    2×1.4514223847679-π/2
    2.9028447695358-1.57079632675     		φ = 1.33204844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.40988382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.076172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33204844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.320754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 954 KachelY 1331 -2.40988382 1.33204844 -138.076172 76.320754
    Oben rechts KachelX + 1 955 KachelY 1331 -2.40911683 1.33204844 -138.032227 76.320754
    Unten links KachelX 954 KachelY + 1 1332 -2.40988382 1.33186699 -138.076172 76.310357
    Unten rechts KachelX + 1 955 KachelY + 1 1332 -2.40911683 1.33186699 -138.032227 76.310357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33204844-1.33186699) × R
    0.000181449999999916 × 6371000     		dl = 1156.01794999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33204844-1.33186699) × R
    0.000181449999999916 × 6371000     		dr = 1156.01794999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.40988382--2.40911683) × cos(1.33204844) × R
    0.000766990000000245 × 0.236486215306425 × 6371000     		do = 1155.58830427271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.40988382--2.40911683) × cos(1.33186699) × R
    0.000766990000000245 × 0.236662514554843 × 6371000     		du = 1156.44978936714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33204844)-sin(1.33186699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.236486215306425-0.236662514554843)×R²
    abs(-2.40911683--2.40988382)×0.000176299248418305×R²
    0.000766990000000245×0.000176299248418305×6371000²
    0.000766990000000245×0.000176299248418305×40589641000000     		ar = 1336378.77232946m²