Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9539 / 7331
↖ ↑ ↗
← N 18.583776°
E 29.597168°		 ← 2 315.88 m → N 18.583776°
E 29.619141°		 →
↑
2 315.99 m
↓
↑
2 315.99 m
↓
N 18.562947°
E 29.597168°		 ← 2 316.17 m →
5 363 880 m²		 N 18.562947°
E 29.619141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582244873046875 y=0.447479248046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582244873046875 × 214)
    floor (0.582244873046875 × 16384)
    floor (9539.5)     		tx = 9539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447479248046875 × 214)
    floor (0.447479248046875 × 16384)
    floor (7331.5)     		ty = 7331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9539 / 7331 ti = "14/9539/7331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9539/7331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9539 ÷ 214
    9539 ÷ 16384     		x = 0.58221435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7331 ÷ 214
    7331 ÷ 16384     		y = 0.44744873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58221435546875 × 2 - 1) × π
    0.1644287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51656803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44744873046875 × 2 - 1) × π
    0.1051025390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.330189364582947
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51656803} λ = 0.51656803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.330189364582947))-π/2
    2×atan(1.39123155350422)-π/2
    2×0.94757220000005-π/2
    1.8951444000001-1.57079632675     		φ = 0.32434807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51656803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.597168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32434807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.583776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9539 KachelY 7331 0.51656803 0.32434807 29.597168 18.583776
    Oben rechts KachelX + 1 9540 KachelY 7331 0.51695153 0.32434807 29.619141 18.583776
    Unten links KachelX 9539 KachelY + 1 7332 0.51656803 0.32398455 29.597168 18.562947
    Unten rechts KachelX + 1 9540 KachelY + 1 7332 0.51695153 0.32398455 29.619141 18.562947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32434807-0.32398455) × R
    0.000363520000000006 × 6371000     		dl = 2315.98592000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32434807-0.32398455) × R
    0.000363520000000006 × 6371000     		dr = 2315.98592000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51656803-0.51695153) × cos(0.32434807) × R
    0.000383500000000092 × 0.947858691995032 × 6371000     		do = 2315.88276319014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51656803-0.51695153) × cos(0.32398455) × R
    0.000383500000000092 × 0.947974479886063 × 6371000     		du = 2316.16566525486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32434807)-sin(0.32398455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947858691995032-0.947974479886063)×R²
    abs(0.51695153-0.51656803)×0.000115787891030616×R²
    0.000383500000000092×0.000115787891030616×6371000²
    0.000383500000000092×0.000115787891030616×40589641000000     		ar = 5363879.52958628m²