Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9538 / 7341
↖ ↑ ↗
← N 18.375379°
E 29.575196°		 ← 2 318.64 m → N 18.375379°
E 29.597168°		 →
↑
2 318.85 m
↓
↑
2 318.85 m
↓
N 18.354525°
E 29.575196°		 ← 2 318.92 m →
5 376 908 m²		 N 18.354525°
E 29.597168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582183837890625 y=0.448089599609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582183837890625 × 214)
    floor (0.582183837890625 × 16384)
    floor (9538.5)     		tx = 9538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448089599609375 × 214)
    floor (0.448089599609375 × 16384)
    floor (7341.5)     		ty = 7341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9538 / 7341 ti = "14/9538/7341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9538/7341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9538 ÷ 214
    9538 ÷ 16384     		x = 0.5821533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7341 ÷ 214
    7341 ÷ 16384     		y = 0.44805908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5821533203125 × 2 - 1) × π
    0.164306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51618454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44805908203125 × 2 - 1) × π
    0.1038818359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.326354412613342
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51618454} λ = 0.51618454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.326354412613342))-π/2
    2×atan(1.38590646457435)-π/2
    2×0.945753596639516-π/2
    1.89150719327903-1.57079632675     		φ = 0.32071087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51618454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.575196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32071087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.375379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9538 KachelY 7341 0.51618454 0.32071087 29.575196 18.375379
    Oben rechts KachelX + 1 9539 KachelY 7341 0.51656803 0.32071087 29.597168 18.375379
    Unten links KachelX 9538 KachelY + 1 7342 0.51618454 0.32034690 29.575196 18.354525
    Unten rechts KachelX + 1 9539 KachelY + 1 7342 0.51656803 0.32034690 29.597168 18.354525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32071087-0.32034690) × R
    0.000363969999999991 × 6371000     		dl = 2318.85286999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32071087-0.32034690) × R
    0.000363969999999991 × 6371000     		dr = 2318.85286999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51618454-0.51656803) × cos(0.32071087) × R
    0.000383489999999931 × 0.94901156232885 × 6371000     		do = 2318.63908496244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51618454-0.51656803) × cos(0.32034690) × R
    0.000383489999999931 × 0.949126237829442 × 6371000     		du = 2318.91926184153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32071087)-sin(0.32034690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94901156232885-0.949126237829442)×R²
    abs(0.51656803-0.51618454)×0.000114675500592187×R²
    0.000383489999999931×0.000114675500592187×6371000²
    0.000383489999999931×0.000114675500592187×40589641000000     		ar = 5376907.80049774m²