Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9537 / 7344
↖ ↑ ↗
← N 18.312811°
E 29.553223°		 ← 2 319.54 m → N 18.312811°
E 29.575196°		 →
↑
2 319.62 m
↓
↑
2 319.62 m
↓
N 18.291950°
E 29.553223°		 ← 2 319.82 m →
5 380 768 m²		 N 18.291950°
E 29.575196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582122802734375 y=0.448272705078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582122802734375 × 214)
    floor (0.582122802734375 × 16384)
    floor (9537.5)     		tx = 9537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448272705078125 × 214)
    floor (0.448272705078125 × 16384)
    floor (7344.5)     		ty = 7344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9537 / 7344 ti = "14/9537/7344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9537/7344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9537 ÷ 214
    9537 ÷ 16384     		x = 0.58209228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7344 ÷ 214
    7344 ÷ 16384     		y = 0.4482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58209228515625 × 2 - 1) × π
    0.1641845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51580104
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4482421875 × 2 - 1) × π
    0.103515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.325203927022461
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51580104} λ = 0.51580104}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.325203927022461))-π/2
    2×atan(1.38431291600965)-π/2
    2×0.945207585675563-π/2
    1.89041517135113-1.57079632675     		φ = 0.31961884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51580104} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.553223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31961884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.312811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9537 KachelY 7344 0.51580104 0.31961884 29.553223 18.312811
    Oben rechts KachelX + 1 9538 KachelY 7344 0.51618454 0.31961884 29.575196 18.312811
    Unten links KachelX 9537 KachelY + 1 7345 0.51580104 0.31925475 29.553223 18.291950
    Unten rechts KachelX + 1 9538 KachelY + 1 7345 0.51618454 0.31925475 29.575196 18.291950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31961884-0.31925475) × R
    0.000364090000000039 × 6371000     		dl = 2319.61739000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31961884-0.31925475) × R
    0.000364090000000039 × 6371000     		dr = 2319.61739000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51580104-0.51618454) × cos(0.31961884) × R
    0.000383499999999981 × 0.949355249315924 × 6371000     		do = 2319.53926951562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51580104-0.51618454) × cos(0.31925475) × R
    0.000383499999999981 × 0.949469585188533 × 6371000     		du = 2319.81862389495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31961884)-sin(0.31925475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949355249315924-0.949469585188533)×R²
    abs(0.51618454-0.51580104)×0.000114335872609117×R²
    0.000383499999999981×0.000114335872609117×6371000²
    0.000383499999999981×0.000114335872609117×40589641000000     		ar = 5380767.6834358m²