Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9536 / 7488
↖ ↑ ↗
← N 15.284185°
E 29.531250°		 ← 2 356.86 m → N 15.284185°
E 29.553223°		 →
↑
2 356.95 m
↓
↑
2 356.95 m
↓
N 15.262988°
E 29.531250°		 ← 2 357.10 m →
5 555 286 m²		 N 15.262988°
E 29.553223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582061767578125 y=0.457061767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582061767578125 × 214)
    floor (0.582061767578125 × 16384)
    floor (9536.5)     		tx = 9536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457061767578125 × 214)
    floor (0.457061767578125 × 16384)
    floor (7488.5)     		ty = 7488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9536 / 7488 ti = "14/9536/7488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9536/7488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9536 ÷ 214
    9536 ÷ 16384     		x = 0.58203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7488 ÷ 214
    7488 ÷ 16384     		y = 0.45703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58203125 × 2 - 1) × π
    0.1640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51541754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45703125 × 2 - 1) × π
    0.0859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.269980618660156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51541754} λ = 0.51541754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.269980618660156))-π/2
    2×atan(1.30993906211308)-π/2
    2×0.918777840256196-π/2
    1.83755568051239-1.57079632675     		φ = 0.26675935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51541754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.531250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26675935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.284185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9536 KachelY 7488 0.51541754 0.26675935 29.531250 15.284185
    Oben rechts KachelX + 1 9537 KachelY 7488 0.51580104 0.26675935 29.553223 15.284185
    Unten links KachelX 9536 KachelY + 1 7489 0.51541754 0.26638940 29.531250 15.262988
    Unten rechts KachelX + 1 9537 KachelY + 1 7489 0.51580104 0.26638940 29.553223 15.262988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26675935-0.26638940) × R
    0.000369950000000008 × 6371000     		dl = 2356.95145000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26675935-0.26638940) × R
    0.000369950000000008 × 6371000     		dr = 2356.95145000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51541754-0.51580104) × cos(0.26675935) × R
    0.000383500000000092 × 0.964630217417108 × 6371000     		do = 2356.86027066611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51541754-0.51580104) × cos(0.26638940) × R
    0.000383500000000092 × 0.964727672738496 × 6371000     		du = 2357.09838115757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26675935)-sin(0.26638940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964630217417108-0.964727672738496)×R²
    abs(0.51580104-0.51541754)×9.74553213877183e-05×R²
    0.000383500000000092×9.74553213877183e-05×6371000²
    0.000383500000000092×9.74553213877183e-05×40589641000000     		ar = 5555285.90318707m²