Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9536 / 7479
↖ ↑ ↗
← N 15.474857°
E 29.531250°		 ← 2 354.70 m → N 15.474857°
E 29.553223°		 →
↑
2 354.79 m
↓
↑
2 354.79 m
↓
N 15.453680°
E 29.531250°		 ← 2 354.94 m →
5 545 106 m²		 N 15.453680°
E 29.553223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582061767578125 y=0.456512451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582061767578125 × 214)
    floor (0.582061767578125 × 16384)
    floor (9536.5)     		tx = 9536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456512451171875 × 214)
    floor (0.456512451171875 × 16384)
    floor (7479.5)     		ty = 7479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9536 / 7479 ti = "14/9536/7479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9536/7479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9536 ÷ 214
    9536 ÷ 16384     		x = 0.58203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7479 ÷ 214
    7479 ÷ 16384     		y = 0.45648193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58203125 × 2 - 1) × π
    0.1640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51541754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45648193359375 × 2 - 1) × π
    0.0870361328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.2734320754328
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51541754} λ = 0.51541754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.2734320754328))-π/2
    2×atan(1.31446807150482)-π/2
    2×0.920441769870437-π/2
    1.84088353974087-1.57079632675     		φ = 0.27008721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51541754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.531250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27008721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.474857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9536 KachelY 7479 0.51541754 0.27008721 29.531250 15.474857
    Oben rechts KachelX + 1 9537 KachelY 7479 0.51580104 0.27008721 29.553223 15.474857
    Unten links KachelX 9536 KachelY + 1 7480 0.51541754 0.26971760 29.531250 15.453680
    Unten rechts KachelX + 1 9537 KachelY + 1 7480 0.51580104 0.26971760 29.553223 15.453680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27008721-0.26971760) × R
    0.00036961000000002 × 6371000     		dl = 2354.78531000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27008721-0.26971760) × R
    0.00036961000000002 × 6371000     		dr = 2354.78531000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51541754-0.51580104) × cos(0.27008721) × R
    0.000383500000000092 × 0.963747631052306 × 6371000     		do = 2354.7038663766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51541754-0.51580104) × cos(0.26971760) × R
    0.000383500000000092 × 0.963846182892362 × 6371000     		du = 2354.94465596854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27008721)-sin(0.26971760))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.963747631052306-0.963846182892362)×R²
    abs(0.51580104-0.51541754)×9.85518400555829e-05×R²
    0.000383500000000092×9.85518400555829e-05×6371000²
    0.000383500000000092×9.85518400555829e-05×40589641000000     		ar = 5545105.64096798m²