Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9536 / 7420
↖ ↑ ↗
← N 16.720385°
E 29.531250°		 ← 2 339.98 m → N 16.720385°
E 29.553223°		 →
↑
2 340.07 m
↓
↑
2 340.07 m
↓
N 16.699340°
E 29.531250°		 ← 2 340.24 m →
5 476 008 m²		 N 16.699340°
E 29.553223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582061767578125 y=0.452911376953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582061767578125 × 214)
    floor (0.582061767578125 × 16384)
    floor (9536.5)     		tx = 9536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452911376953125 × 214)
    floor (0.452911376953125 × 16384)
    floor (7420.5)     		ty = 7420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9536 / 7420 ti = "14/9536/7420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9536/7420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9536 ÷ 214
    9536 ÷ 16384     		x = 0.58203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7420 ÷ 214
    7420 ÷ 16384     		y = 0.452880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58203125 × 2 - 1) × π
    0.1640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51541754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452880859375 × 2 - 1) × π
    0.09423828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.296058292053467
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51541754} λ = 0.51541754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.296058292053467))-π/2
    2×atan(1.34454853104259)-π/2
    2×0.931311049070047-π/2
    1.86262209814009-1.57079632675     		φ = 0.29182577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51541754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.531250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29182577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.720385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9536 KachelY 7420 0.51541754 0.29182577 29.531250 16.720385
    Oben rechts KachelX + 1 9537 KachelY 7420 0.51580104 0.29182577 29.553223 16.720385
    Unten links KachelX 9536 KachelY + 1 7421 0.51541754 0.29145847 29.531250 16.699340
    Unten rechts KachelX + 1 9537 KachelY + 1 7421 0.51580104 0.29145847 29.553223 16.699340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29182577-0.29145847) × R
    0.000367299999999959 × 6371000     		dl = 2340.06829999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29182577-0.29145847) × R
    0.000367299999999959 × 6371000     		dr = 2340.06829999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51541754-0.51580104) × cos(0.29182577) × R
    0.000383500000000092 × 0.957720195686806 × 6371000     		do = 2339.97716313793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51541754-0.51580104) × cos(0.29145847) × R
    0.000383500000000092 × 0.957825803762065 × 6371000     		du = 2340.23519307763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29182577)-sin(0.29145847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957720195686806-0.957825803762065)×R²
    abs(0.51580104-0.51541754)×0.000105608075258834×R²
    0.000383500000000092×0.000105608075258834×6371000²
    0.000383500000000092×0.000105608075258834×40589641000000     		ar = 5476008.34758733m²