Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9534 / 7422
↖ ↑ ↗
← N 16.678293°
E 29.487304°		 ← 2 340.49 m → N 16.678293°
E 29.509277°		 →
↑
2 340.58 m
↓
↑
2 340.58 m
↓
N 16.657244°
E 29.487304°		 ← 2 340.75 m →
5 478 408 m²		 N 16.657244°
E 29.509277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581939697265625 y=0.453033447265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581939697265625 × 214)
    floor (0.581939697265625 × 16384)
    floor (9534.5)     		tx = 9534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.453033447265625 × 214)
    floor (0.453033447265625 × 16384)
    floor (7422.5)     		ty = 7422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9534 / 7422 ti = "14/9534/7422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9534/7422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9534 ÷ 214
    9534 ÷ 16384     		x = 0.5819091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7422 ÷ 214
    7422 ÷ 16384     		y = 0.4530029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5819091796875 × 2 - 1) × π
    0.163818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51465055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4530029296875 × 2 - 1) × π
    0.093994140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.295291301659546
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51465055} λ = 0.51465055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.295291301659546))-π/2
    2×atan(1.34351767061568)-π/2
    2×0.930943727482296-π/2
    1.86188745496459-1.57079632675     		φ = 0.29109113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51465055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.487304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29109113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.678293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9534 KachelY 7422 0.51465055 0.29109113 29.487304 16.678293
    Oben rechts KachelX + 1 9535 KachelY 7422 0.51503405 0.29109113 29.509277 16.678293
    Unten links KachelX 9534 KachelY + 1 7423 0.51465055 0.29072375 29.487304 16.657244
    Unten rechts KachelX + 1 9535 KachelY + 1 7423 0.51503405 0.29072375 29.509277 16.657244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29109113-0.29072375) × R
    0.000367379999999973 × 6371000     		dl = 2340.57797999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29109113-0.29072375) × R
    0.000367379999999973 × 6371000     		dr = 2340.57797999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51465055-0.51503405) × cos(0.29109113) × R
    0.000383499999999981 × 0.957931294097632 × 6371000     		do = 2340.4929353458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51465055-0.51503405) × cos(0.29072375) × R
    0.000383499999999981 × 0.958036666637048 × 6371000     		du = 2340.75038980585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29109113)-sin(0.29072375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957931294097632-0.958036666637048)×R²
    abs(0.51503405-0.51465055)×0.000105372539416115×R²
    0.000383499999999981×0.000105372539416115×6371000²
    0.000383499999999981×0.000105372539416115×40589641000000     		ar = 5478407.58455273m²