Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9534 / 5442
↖ ↑ ↗
← N 81.670833°
W127.628174°		 ← 88.48 m → N 81.670833°
W127.622681°		 →
↑
88.49 m
↓
↑
88.49 m
↓
N 81.670037°
W127.628174°		 ← 88.49 m →
7 830 m²		 N 81.670037°
W127.622681°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145484924316406 y=0.0830459594726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145484924316406 × 216)
    floor (0.145484924316406 × 65536)
    floor (9534.5)     		tx = 9534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0830459594726562 × 216)
    floor (0.0830459594726562 × 65536)
    floor (5442.5)     		ty = 5442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9534 / 5442 ti = "16/9534/5442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9534/5442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9534 ÷ 216
    9534 ÷ 65536     		x = 0.145477294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5442 ÷ 216
    5442 ÷ 65536     		y = 0.083038330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.145477294921875 × 2 - 1) × π
    -0.70904541015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.22753185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.083038330078125 × 2 - 1) × π
    0.83392333984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.61984743803531
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22753185} λ = -2.22753185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61984743803531))-π/2
    2×atan(13.7336281959437)-π/2
    2×1.49811063186495-π/2
    2.9962212637299-1.57079632675     		φ = 1.42542494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22753185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.628174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42542494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.670833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9534 KachelY 5442 -2.22753185 1.42542494 -127.628174 81.670833
    Oben rechts KachelX + 1 9535 KachelY 5442 -2.22743598 1.42542494 -127.622681 81.670833
    Unten links KachelX 9534 KachelY + 1 5443 -2.22753185 1.42541105 -127.628174 81.670037
    Unten rechts KachelX + 1 9535 KachelY + 1 5443 -2.22743598 1.42541105 -127.622681 81.670037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42542494-1.42541105) × R
    1.38900000001829e-05 × 6371000     		dl = 88.4931900011654m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42542494-1.42541105) × R
    1.38900000001829e-05 × 6371000     		dr = 88.4931900011654m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22753185--2.22743598) × cos(1.42542494) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.144859909164205 × 6371000     		do = 88.4786608808054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22753185--2.22743598) × cos(1.42541105) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.144873652640942 × 6371000     		du = 88.4870552283137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42542494)-sin(1.42541105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144859909164205-0.144873652640942)×R²
    abs(-2.22743598--2.22753185)×1.37434767371603e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.37434767371603e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.37434767371603e-05×40589641000000     		ar = 7830.1303699776m²