Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9533 / 7491
↖ ↑ ↗
← N 15.220589°
E 29.465332°		 ← 2 357.51 m → N 15.220589°
E 29.487304°		 →
↑
2 357.65 m
↓
↑
2 357.65 m
↓
N 15.199386°
E 29.465332°		 ← 2 357.75 m →
5 558 474 m²		 N 15.199386°
E 29.487304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581878662109375 y=0.457244873046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581878662109375 × 214)
    floor (0.581878662109375 × 16384)
    floor (9533.5)     		tx = 9533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457244873046875 × 214)
    floor (0.457244873046875 × 16384)
    floor (7491.5)     		ty = 7491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9533 / 7491 ti = "14/9533/7491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9533/7491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9533 ÷ 214
    9533 ÷ 16384     		x = 0.58184814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7491 ÷ 214
    7491 ÷ 16384     		y = 0.45721435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58184814453125 × 2 - 1) × π
    0.1636962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51426706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45721435546875 × 2 - 1) × π
    0.0855712890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.268830133069275
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51426706} λ = 0.51426706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.268830133069275))-π/2
    2×atan(1.30843286269368)-π/2
    2×0.918222859636008-π/2
    1.83644571927202-1.57079632675     		φ = 0.26564939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51426706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.465332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26564939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.220589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9533 KachelY 7491 0.51426706 0.26564939 29.465332 15.220589
    Oben rechts KachelX + 1 9534 KachelY 7491 0.51465055 0.26564939 29.487304 15.220589
    Unten links KachelX 9533 KachelY + 1 7492 0.51426706 0.26527933 29.465332 15.199386
    Unten rechts KachelX + 1 9534 KachelY + 1 7492 0.51465055 0.26527933 29.487304 15.199386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26564939-0.26527933) × R
    0.000370060000000005 × 6371000     		dl = 2357.65226000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26564939-0.26527933) × R
    0.000370060000000005 × 6371000     		dr = 2357.65226000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51426706-0.51465055) × cos(0.26564939) × R
    0.000383490000000042 × 0.964922216140337 × 6371000     		do = 2357.5122296739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51426706-0.51465055) × cos(0.26527933) × R
    0.000383490000000042 × 0.965019304115618 × 6371000     		du = 2357.74943645104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26564939)-sin(0.26527933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964922216140337-0.965019304115618)×R²
    abs(0.51465055-0.51426706)×9.708797528174e-05×R²
    0.000383490000000042×9.708797528174e-05×6371000²
    0.000383490000000042×9.708797528174e-05×40589641000000     		ar = 5558473.72524919m²