Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9533 / 7319
↖ ↑ ↗
← N 18.833515°
E 29.465332°		 ← 2 312.41 m → N 18.833515°
E 29.487304°		 →
↑
2 312.55 m
↓
↑
2 312.55 m
↓
N 18.812718°
E 29.465332°		 ← 2 312.69 m →
5 347 876 m²		 N 18.812718°
E 29.487304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581878662109375 y=0.446746826171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581878662109375 × 214)
    floor (0.581878662109375 × 16384)
    floor (9533.5)     		tx = 9533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446746826171875 × 214)
    floor (0.446746826171875 × 16384)
    floor (7319.5)     		ty = 7319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9533 / 7319 ti = "14/9533/7319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9533/7319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9533 ÷ 214
    9533 ÷ 16384     		x = 0.58184814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7319 ÷ 214
    7319 ÷ 16384     		y = 0.44671630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58184814453125 × 2 - 1) × π
    0.1636962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51426706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44671630859375 × 2 - 1) × π
    0.1065673828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.334791306946472
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51426706} λ = 0.51426706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.334791306946472))-π/2
    2×atan(1.39764867521481)-π/2
    2×0.949751590089325-π/2
    1.89950318017865-1.57079632675     		φ = 0.32870685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51426706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.465332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32870685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.833515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9533 KachelY 7319 0.51426706 0.32870685 29.465332 18.833515
    Oben rechts KachelX + 1 9534 KachelY 7319 0.51465055 0.32870685 29.487304 18.833515
    Unten links KachelX 9533 KachelY + 1 7320 0.51426706 0.32834387 29.465332 18.812718
    Unten rechts KachelX + 1 9534 KachelY + 1 7320 0.51465055 0.32834387 29.487304 18.812718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32870685-0.32834387) × R
    0.000362980000000013 × 6371000     		dl = 2312.54558000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32870685-0.32834387) × R
    0.000362980000000013 × 6371000     		dr = 2312.54558000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51426706-0.51465055) × cos(0.32870685) × R
    0.000383490000000042 × 0.946460588650409 × 6371000     		do = 2312.40650834304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51426706-0.51465055) × cos(0.32834387) × R
    0.000383490000000042 × 0.946577703277318 × 6371000     		du = 2312.69264453163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32870685)-sin(0.32834387))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946460588650409-0.946577703277318)×R²
    abs(0.51465055-0.51426706)×0.000117114626908554×R²
    0.000383490000000042×0.000117114626908554×6371000²
    0.000383490000000042×0.000117114626908554×40589641000000     		ar = 5347876.36023809m²