Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9532 / 7474
↖ ↑ ↗
← N 15.580711°
E 29.443359°		 ← 2 353.50 m → N 15.580711°
E 29.465332°		 →
↑
2 353.57 m
↓
↑
2 353.57 m
↓
N 15.559544°
E 29.443359°		 ← 2 353.74 m →
5 539 413 m²		 N 15.559544°
E 29.465332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581817626953125 y=0.456207275390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581817626953125 × 214)
    floor (0.581817626953125 × 16384)
    floor (9532.5)     		tx = 9532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456207275390625 × 214)
    floor (0.456207275390625 × 16384)
    floor (7474.5)     		ty = 7474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9532 / 7474 ti = "14/9532/7474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9532/7474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9532 ÷ 214
    9532 ÷ 16384     		x = 0.581787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7474 ÷ 214
    7474 ÷ 16384     		y = 0.4561767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581787109375 × 2 - 1) × π
    0.16357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51388356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4561767578125 × 2 - 1) × π
    0.087646484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.275349551417603
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51388356} λ = 0.51388356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.275349551417603))-π/2
    2×atan(1.31699095047165)-π/2
    2×0.921365514493267-π/2
    1.84273102898653-1.57079632675     		φ = 0.27193470
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51388356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.443359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27193470 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.580711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9532 KachelY 7474 0.51388356 0.27193470 29.443359 15.580711
    Oben rechts KachelX + 1 9533 KachelY 7474 0.51426706 0.27193470 29.465332 15.580711
    Unten links KachelX 9532 KachelY + 1 7475 0.51388356 0.27156528 29.443359 15.559544
    Unten rechts KachelX + 1 9533 KachelY + 1 7475 0.51426706 0.27156528 29.465332 15.559544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27193470-0.27156528) × R
    0.000369419999999954 × 6371000     		dl = 2353.5748199997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27193470-0.27156528) × R
    0.000369419999999954 × 6371000     		dr = 2353.5748199997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51388356-0.51426706) × cos(0.27193470) × R
    0.000383499999999981 × 0.963253047649706 × 6371000     		do = 2353.49546138189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51388356-0.51426706) × cos(0.27156528) × R
    0.000383499999999981 × 0.963352206485152 × 6371000     		du = 2353.73773403262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27193470)-sin(0.27156528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.963253047649706-0.963352206485152)×R²
    abs(0.51426706-0.51388356)×9.91588354458672e-05×R²
    0.000383499999999981×9.91588354458672e-05×6371000²
    0.000383499999999981×9.91588354458672e-05×40589641000000     		ar = 5539412.82329515m²