Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9531 / 7499
↖ ↑ ↗
← N 15.050906°
E 29.421387°		 ← 2 359.40 m → N 15.050906°
E 29.443359°		 →
↑
2 359.56 m
↓
↑
2 359.56 m
↓
N 15.029686°
E 29.421387°		 ← 2 359.64 m →
5 567 435 m²		 N 15.029686°
E 29.443359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581756591796875 y=0.457733154296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581756591796875 × 214)
    floor (0.581756591796875 × 16384)
    floor (9531.5)     		tx = 9531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457733154296875 × 214)
    floor (0.457733154296875 × 16384)
    floor (7499.5)     		ty = 7499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9531 / 7499 ti = "14/9531/7499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9531/7499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9531 ÷ 214
    9531 ÷ 16384     		x = 0.58172607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7499 ÷ 214
    7499 ÷ 16384     		y = 0.45770263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58172607421875 × 2 - 1) × π
    0.1634521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51350007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45770263671875 × 2 - 1) × π
    0.0845947265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.265762171493591
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51350007} λ = 0.51350007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.265762171493591))-π/2
    2×atan(1.30442479239321)-π/2
    2×0.916742093397283-π/2
    1.83348418679457-1.57079632675     		φ = 0.26268786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51350007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.421387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26268786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.050906°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9531 KachelY 7499 0.51350007 0.26268786 29.421387 15.050906
    Oben rechts KachelX + 1 9532 KachelY 7499 0.51388356 0.26268786 29.443359 15.050906
    Unten links KachelX 9531 KachelY + 1 7500 0.51350007 0.26231750 29.421387 15.029686
    Unten rechts KachelX + 1 9532 KachelY + 1 7500 0.51388356 0.26231750 29.443359 15.029686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26268786-0.26231750) × R
    0.000370360000000014 × 6371000     		dl = 2359.56356000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26268786-0.26231750) × R
    0.000370360000000014 × 6371000     		dr = 2359.56356000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51350007-0.51388356) × cos(0.26268786) × R
    0.000383490000000042 × 0.965695491550081 × 6371000     		do = 2359.40150759174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51350007-0.51388356) × cos(0.26231750) × R
    0.000383490000000042 × 0.965791599343304 × 6371000     		du = 2359.63631957357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26268786)-sin(0.26231750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965695491550081-0.965791599343304)×R²
    abs(0.51388356-0.51350007)×9.61077932231102e-05×R²
    0.000383490000000042×9.61077932231102e-05×6371000²
    0.000383490000000042×9.61077932231102e-05×40589641000000     		ar = 5567434.91125975m²