Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 953 / 757
↖ ↑ ↗
← N 74.283563°
W 96.240234°		 ← 2 647.27 m → N 74.283563°
W 96.152344°		 →
↑
2 649.19 m
↓
↑
2 649.19 m
↓
N 74.259739°
W 96.240234°		 ← 2 651.19 m →
7 018 310 m²		 N 74.259739°
W 96.152344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2327880859375 y=0.1849365234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2327880859375 × 212)
    floor (0.2327880859375 × 4096)
    floor (953.5)     		tx = 953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1849365234375 × 212)
    floor (0.1849365234375 × 4096)
    floor (757.5)     		ty = 757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 953 / 757 ti = "12/953/757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/953/757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 953 ÷ 212
    953 ÷ 4096     		x = 0.232666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 757 ÷ 212
    757 ÷ 4096     		y = 0.184814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.232666015625 × 2 - 1) × π
    -0.53466796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.67970896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.184814453125 × 2 - 1) × π
    0.63037109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.98036919710376
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.67970896} λ = -1.67970896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.98036919710376))-π/2
    2×atan(7.24541747857164)-π/2
    2×1.43364454472578-π/2
    2.86728908945156-1.57079632675     		φ = 1.29649276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.67970896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.240234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29649276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.283563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 953 KachelY 757 -1.67970896 1.29649276 -96.240234 74.283563
    Oben rechts KachelX + 1 954 KachelY 757 -1.67817498 1.29649276 -96.152344 74.283563
    Unten links KachelX 953 KachelY + 1 758 -1.67970896 1.29607694 -96.240234 74.259739
    Unten rechts KachelX + 1 954 KachelY + 1 758 -1.67817498 1.29607694 -96.152344 74.259739
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29649276-1.29607694) × R
    0.000415819999999956 × 6371000     		dl = 2649.18921999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29649276-1.29607694) × R
    0.000415819999999956 × 6371000     		dr = 2649.18921999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.67970896--1.67817498) × cos(1.29649276) × R
    0.00153397999999982 × 0.270876606292501 × 6371000     		do = 2647.27343813225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.67970896--1.67817498) × cos(1.29607694) × R
    0.00153397999999982 × 0.271276857048964 × 6371000     		du = 2651.1850834038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29649276)-sin(1.29607694))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.270876606292501-0.271276857048964)×R²
    abs(-1.67817498--1.67970896)×0.00040025075646305×R²
    0.00153397999999982×0.00040025075646305×6371000²
    0.00153397999999982×0.00040025075646305×40589641000000     		ar = 7018309.70005894m²