Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9529 / 7475
↖ ↑ ↗
← N 15.559544°
E 29.377442°		 ← 2 353.68 m → N 15.559544°
E 29.399414°		 →
↑
2 353.83 m
↓
↑
2 353.83 m
↓
N 15.538376°
E 29.377442°		 ← 2 353.92 m →
5 540 438 m²		 N 15.538376°
E 29.399414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581634521484375 y=0.456268310546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581634521484375 × 214)
    floor (0.581634521484375 × 16384)
    floor (9529.5)     		tx = 9529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456268310546875 × 214)
    floor (0.456268310546875 × 16384)
    floor (7475.5)     		ty = 7475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9529 / 7475 ti = "14/9529/7475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9529/7475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9529 ÷ 214
    9529 ÷ 16384     		x = 0.58160400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7475 ÷ 214
    7475 ÷ 16384     		y = 0.45623779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58160400390625 × 2 - 1) × π
    0.1632080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51273308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45623779296875 × 2 - 1) × π
    0.0875244140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.274966056220642
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51273308} λ = 0.51273308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.274966056220642))-π/2
    2×atan(1.31648598759931)-π/2
    2×0.921180803526043-π/2
    1.84236160705209-1.57079632675     		φ = 0.27156528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51273308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.377442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27156528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.559544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9529 KachelY 7475 0.51273308 0.27156528 29.377442 15.559544
    Oben rechts KachelX + 1 9530 KachelY 7475 0.51311657 0.27156528 29.399414 15.559544
    Unten links KachelX 9529 KachelY + 1 7476 0.51273308 0.27119582 29.377442 15.538376
    Unten rechts KachelX + 1 9530 KachelY + 1 7476 0.51311657 0.27119582 29.399414 15.538376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27156528-0.27119582) × R
    0.000369460000000044 × 6371000     		dl = 2353.82966000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27156528-0.27119582) × R
    0.000369460000000044 × 6371000     		dr = 2353.82966000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51273308-0.51311657) × cos(0.27156528) × R
    0.000383490000000042 × 0.963352206485152 × 6371000     		do = 2353.67635886392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51273308-0.51311657) × cos(0.27119582) × R
    0.000383490000000042 × 0.96345124456618 × 6371000     		du = 2353.91833016825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27156528)-sin(0.27119582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.963352206485152-0.96345124456618)×R²
    abs(0.51311657-0.51273308)×9.90380810275138e-05×R²
    0.000383490000000042×9.90380810275138e-05×6371000²
    0.000383490000000042×9.90380810275138e-05×40589641000000     		ar = 5540438.06617481m²