Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9528 / 7416
↖ ↑ ↗
← N 16.804541°
E 29.355469°		 ← 2 338.94 m → N 16.804541°
E 29.377442°		 →
↑
2 339.05 m
↓
↑
2 339.05 m
↓
N 16.783505°
E 29.355469°		 ← 2 339.20 m →
5 471 203 m²		 N 16.783505°
E 29.377442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581573486328125 y=0.452667236328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581573486328125 × 214)
    floor (0.581573486328125 × 16384)
    floor (9528.5)     		tx = 9528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452667236328125 × 214)
    floor (0.452667236328125 × 16384)
    floor (7416.5)     		ty = 7416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9528 / 7416 ti = "14/9528/7416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9528/7416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9528 ÷ 214
    9528 ÷ 16384     		x = 0.58154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7416 ÷ 214
    7416 ÷ 16384     		y = 0.45263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58154296875 × 2 - 1) × π
    0.1630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51234958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45263671875 × 2 - 1) × π
    0.0947265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.297592272841309
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51234958} λ = 0.51234958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.297592272841309))-π/2
    2×atan(1.34661262539332)-π/2
    2×0.932045448928139-π/2
    1.86409089785628-1.57079632675     		φ = 0.29329457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51234958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.355469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29329457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.804541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9528 KachelY 7416 0.51234958 0.29329457 29.355469 16.804541
    Oben rechts KachelX + 1 9529 KachelY 7416 0.51273308 0.29329457 29.377442 16.804541
    Unten links KachelX 9528 KachelY + 1 7417 0.51234958 0.29292743 29.355469 16.783505
    Unten rechts KachelX + 1 9529 KachelY + 1 7417 0.51273308 0.29292743 29.377442 16.783505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29329457-0.29292743) × R
    0.000367139999999988 × 6371000     		dl = 2339.04893999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29329457-0.29292743) × R
    0.000367139999999988 × 6371000     		dr = 2339.04893999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51234958-0.51273308) × cos(0.29329457) × R
    0.000383499999999981 × 0.95729658711815 × 6371000     		do = 2338.94216942904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51234958-0.51273308) × cos(0.29292743) × R
    0.000383499999999981 × 0.957402665587518 × 6371000     		du = 2339.20134867256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29329457)-sin(0.29292743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95729658711815-0.957402665587518)×R²
    abs(0.51273308-0.51234958)×0.000106078469368609×R²
    0.000383499999999981×0.000106078469368609×6371000²
    0.000383499999999981×0.000106078469368609×40589641000000     		ar = 5471203.38004764m²