Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9528 / 6440
↖ ↑ ↗
← N 80.837907°
W127.661133°		 ← 97.25 m → N 80.837907°
W127.655640°		 →
↑
97.22 m
↓
↑
97.22 m
↓
N 80.837032°
W127.661133°		 ← 97.26 m →
9 456 m²		 N 80.837032°
W127.655640°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145393371582031 y=0.0982742309570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145393371582031 × 216)
    floor (0.145393371582031 × 65536)
    floor (9528.5)     		tx = 9528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0982742309570312 × 216)
    floor (0.0982742309570312 × 65536)
    floor (6440.5)     		ty = 6440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9528 / 6440 ti = "16/9528/6440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9528/6440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9528 ÷ 216
    9528 ÷ 65536     		x = 0.1453857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6440 ÷ 216
    6440 ÷ 65536     		y = 0.0982666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1453857421875 × 2 - 1) × π
    -0.709228515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.22810709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0982666015625 × 2 - 1) × π
    0.803466796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.52416538639368
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22810709} λ = -2.22810709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52416538639368))-π/2
    2×atan(12.4804745417077)-π/2
    2×1.49084197980553-π/2
    2.98168395961106-1.57079632675     		φ = 1.41088763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22810709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.661133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41088763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.837907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9528 KachelY 6440 -2.22810709 1.41088763 -127.661133 80.837907
    Oben rechts KachelX + 1 9529 KachelY 6440 -2.22801122 1.41088763 -127.655640 80.837907
    Unten links KachelX 9528 KachelY + 1 6441 -2.22810709 1.41087237 -127.661133 80.837032
    Unten rechts KachelX + 1 9529 KachelY + 1 6441 -2.22801122 1.41087237 -127.655640 80.837032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41088763-1.41087237) × R
    1.52599999998504e-05 × 6371000     		dl = 97.2214599990469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41088763-1.41087237) × R
    1.52599999998504e-05 × 6371000     		dr = 97.2214599990469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22810709--2.22801122) × cos(1.41088763) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159228068935173 × 6371000     		do = 97.2545571463187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22810709--2.22801122) × cos(1.41087237) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159243134226891 × 6371000     		du = 97.2637588422511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41088763)-sin(1.41087237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159228068935173-0.159243134226891)×R²
    abs(-2.22801122--2.22810709)×1.50652917172422e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.50652917172422e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.50652917172422e-05×40589641000000     		ar = 9455.67733847798m²