Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 9528 / 6424
↖ ↑ ↗
← N 80.851891°
W127.661133°		 ← 97.11 m → N 80.851891°
W127.655640°		 →
↑
97.09 m
↓
↑
97.09 m
↓
N 80.851018°
W127.661133°		 ← 97.12 m →
9 429 m²		 N 80.851018°
W127.655640°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145393371582031 y=0.0980300903320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145393371582031 × 216)
    floor (0.145393371582031 × 65536)
    floor (9528.5)     		tx = 9528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0980300903320312 × 216)
    floor (0.0980300903320312 × 65536)
    floor (6424.5)     		ty = 6424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9528 / 6424 ti = "16/9528/6424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9528/6424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9528 ÷ 216
    9528 ÷ 65536     		x = 0.1453857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6424 ÷ 216
    6424 ÷ 65536     		y = 0.0980224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1453857421875 × 2 - 1) × π
    -0.709228515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.22810709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0980224609375 × 2 - 1) × π
    0.803955078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.52569936718152
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22810709} λ = -2.22810709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52569936718152))-π/2
    2×atan(12.4996340412729)-π/2
    2×1.49096401377345-π/2
    2.9819280275469-1.57079632675     		φ = 1.41113170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22810709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.661133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41113170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.851891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9528 KachelY 6424 -2.22810709 1.41113170 -127.661133 80.851891
    Oben rechts KachelX + 1 9529 KachelY 6424 -2.22801122 1.41113170 -127.655640 80.851891
    Unten links KachelX 9528 KachelY + 1 6425 -2.22810709 1.41111646 -127.661133 80.851018
    Unten rechts KachelX + 1 9529 KachelY + 1 6425 -2.22801122 1.41111646 -127.655640 80.851018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41113170-1.41111646) × R
    1.5240000000194e-05 × 6371000     		dl = 97.0940400012359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41113170-1.41111646) × R
    1.5240000000194e-05 × 6371000     		dr = 97.0940400012359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22810709--2.22801122) × cos(1.41113170) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158987108082589 × 6371000     		do = 97.1073812045113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22810709--2.22801122) × cos(1.41111646) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159002154221367 × 6371000     		du = 97.1165712020629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41113170)-sin(1.41111646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158987108082589-0.159002154221367)×R²
    abs(-2.22801122--2.22810709)×1.50461387784517e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.50461387784517e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.50461387784517e-05×40589641000000     		ar = 9428.99410244854m²