Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9527 / 7383
↖ ↑ ↗
← N 17.497390°
E 29.333496°		 ← 2 330.17 m → N 17.497390°
E 29.355469°		 →
↑
2 330.38 m
↓
↑
2 330.38 m
↓
N 17.476432°
E 29.333496°		 ← 2 330.44 m →
5 430 502 m²		 N 17.476432°
E 29.355469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581512451171875 y=0.450653076171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581512451171875 × 214)
    floor (0.581512451171875 × 16384)
    floor (9527.5)     		tx = 9527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450653076171875 × 214)
    floor (0.450653076171875 × 16384)
    floor (7383.5)     		ty = 7383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9527 / 7383 ti = "14/9527/7383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9527/7383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9527 ÷ 214
    9527 ÷ 16384     		x = 0.58148193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7383 ÷ 214
    7383 ÷ 16384     		y = 0.45062255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58148193359375 × 2 - 1) × π
    0.1629638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51196609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45062255859375 × 2 - 1) × π
    0.0987548828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.310247614341003
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51196609} λ = 0.51196609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.310247614341003))-π/2
    2×atan(1.36376275954452)-π/2
    2×0.93809169116579-π/2
    1.87618338233158-1.57079632675     		φ = 0.30538706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51196609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.333496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30538706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.497390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9527 KachelY 7383 0.51196609 0.30538706 29.333496 17.497390
    Oben rechts KachelX + 1 9528 KachelY 7383 0.51234958 0.30538706 29.355469 17.497390
    Unten links KachelX 9527 KachelY + 1 7384 0.51196609 0.30502128 29.333496 17.476432
    Unten rechts KachelX + 1 9528 KachelY + 1 7384 0.51234958 0.30502128 29.355469 17.476432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30538706-0.30502128) × R
    0.000365779999999982 × 6371000     		dl = 2330.38437999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30538706-0.30502128) × R
    0.000365779999999982 × 6371000     		dr = 2330.38437999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51196609-0.51234958) × cos(0.30538706) × R
    0.000383489999999931 × 0.953730649643732 × 6371000     		do = 2330.16882888545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51196609-0.51234958) × cos(0.30502128) × R
    0.000383489999999931 × 0.95384056211299 × 6371000     		du = 2330.43736865595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30538706)-sin(0.30502128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.953730649643732-0.95384056211299)×R²
    abs(0.51234958-0.51196609)×0.000109912469258289×R²
    0.000383489999999931×0.000109912469258289×6371000²
    0.000383489999999931×0.000109912469258289×40589641000000     		ar = 5430502.0025878m²