Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9526 / 7311
↖ ↑ ↗
← N 18.999803°
E 29.311523°		 ← 2 310.17 m → N 18.999803°
E 29.333496°		 →
↑
2 310.32 m
↓
↑
2 310.32 m
↓
N 18.979026°
E 29.311523°		 ← 2 310.46 m →
5 337 550 m²		 N 18.979026°
E 29.333496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581451416015625 y=0.446258544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581451416015625 × 214)
    floor (0.581451416015625 × 16384)
    floor (9526.5)     		tx = 9526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446258544921875 × 214)
    floor (0.446258544921875 × 16384)
    floor (7311.5)     		ty = 7311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9526 / 7311 ti = "14/9526/7311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9526/7311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9526 ÷ 214
    9526 ÷ 16384     		x = 0.5814208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7311 ÷ 214
    7311 ÷ 16384     		y = 0.44622802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5814208984375 × 2 - 1) × π
    0.162841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51158259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44622802734375 × 2 - 1) × π
    0.1075439453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.337859268522156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51158259} λ = 0.51158259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.337859268522156))-π/2
    2×atan(1.40194319198442)-π/2
    2×0.951202721691239-π/2
    1.90240544338248-1.57079632675     		φ = 0.33160912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51158259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.311523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33160912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.999803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9526 KachelY 7311 0.51158259 0.33160912 29.311523 18.999803
    Oben rechts KachelX + 1 9527 KachelY 7311 0.51196609 0.33160912 29.333496 18.999803
    Unten links KachelX 9526 KachelY + 1 7312 0.51158259 0.33124649 29.311523 18.979026
    Unten rechts KachelX + 1 9527 KachelY + 1 7312 0.51196609 0.33124649 29.333496 18.979026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33160912-0.33124649) × R
    0.000362629999999975 × 6371000     		dl = 2310.31572999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33160912-0.33124649) × R
    0.000362629999999975 × 6371000     		dr = 2310.31572999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51158259-0.51196609) × cos(0.33160912) × R
    0.000383500000000092 × 0.945519694857625 × 6371000     		do = 2310.16794177275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51158259-0.51196609) × cos(0.33124649) × R
    0.000383500000000092 × 0.945637692287967 × 6371000     		du = 2310.45624235736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33160912)-sin(0.33124649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945519694857625-0.945637692287967)×R²
    abs(0.51196609-0.51158259)×0.000117997430341799×R²
    0.000383500000000092×0.000117997430341799×6371000²
    0.000383500000000092×0.000117997430341799×40589641000000     		ar = 5337550.42599783m²