Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9525 / 7498
↖ ↑ ↗
← N 15.072123°
E 29.289551°		 ← 2 359.17 m → N 15.072123°
E 29.311523°		 →
↑
2 359.31 m
↓
↑
2 359.31 m
↓
N 15.050906°
E 29.289551°		 ← 2 359.40 m →
5 566 279 m²		 N 15.050906°
E 29.311523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581390380859375 y=0.457672119140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581390380859375 × 214)
    floor (0.581390380859375 × 16384)
    floor (9525.5)     		tx = 9525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457672119140625 × 214)
    floor (0.457672119140625 × 16384)
    floor (7498.5)     		ty = 7498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9525 / 7498 ti = "14/9525/7498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9525/7498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9525 ÷ 214
    9525 ÷ 16384     		x = 0.58135986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7498 ÷ 214
    7498 ÷ 16384     		y = 0.4576416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58135986328125 × 2 - 1) × π
    0.1627197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51119910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4576416015625 × 2 - 1) × π
    0.084716796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.266145666690552
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51119910} λ = 0.51119910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.266145666690552))-π/2
    2×atan(1.30492512896809)-π/2
    2×0.916927253964664-π/2
    1.83385450792933-1.57079632675     		φ = 0.26305818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51119910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.289551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26305818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.072123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9525 KachelY 7498 0.51119910 0.26305818 29.289551 15.072123
    Oben rechts KachelX + 1 9526 KachelY 7498 0.51158259 0.26305818 29.311523 15.072123
    Unten links KachelX 9525 KachelY + 1 7499 0.51119910 0.26268786 29.289551 15.050906
    Unten rechts KachelX + 1 9526 KachelY + 1 7499 0.51158259 0.26268786 29.311523 15.050906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26305818-0.26268786) × R
    0.00037031999999998 × 6371000     		dl = 2359.30871999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26305818-0.26268786) × R
    0.00037031999999998 × 6371000     		dr = 2359.30871999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51119910-0.51158259) × cos(0.26305818) × R
    0.000383489999999931 × 0.96559926169715 × 6371000     		do = 2359.16639739113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51119910-0.51158259) × cos(0.26268786) × R
    0.000383489999999931 × 0.965695491550081 × 6371000     		du = 2359.40150759105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26305818)-sin(0.26268786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.96559926169715-0.965695491550081)×R²
    abs(0.51158259-0.51119910)×9.62298529305627e-05×R²
    0.000383489999999931×9.62298529305627e-05×6371000²
    0.000383489999999931×9.62298529305627e-05×40589641000000     		ar = 5566279.26568006m²