Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9525 / 7495
↖ ↑ ↗
← N 15.135764°
E 29.289551°		 ← 2 358.46 m → N 15.135764°
E 29.311523°		 →
↑
2 358.61 m
↓
↑
2 358.61 m
↓
N 15.114553°
E 29.289551°		 ← 2 358.70 m →
5 562 959 m²		 N 15.114553°
E 29.311523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581390380859375 y=0.457489013671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581390380859375 × 214)
    floor (0.581390380859375 × 16384)
    floor (9525.5)     		tx = 9525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457489013671875 × 214)
    floor (0.457489013671875 × 16384)
    floor (7495.5)     		ty = 7495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9525 / 7495 ti = "14/9525/7495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9525/7495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9525 ÷ 214
    9525 ÷ 16384     		x = 0.58135986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7495 ÷ 214
    7495 ÷ 16384     		y = 0.45745849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58135986328125 × 2 - 1) × π
    0.1627197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51119910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45745849609375 × 2 - 1) × π
    0.0850830078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.267296152281433
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51119910} λ = 0.51119910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.267296152281433))-π/2
    2×atan(1.30642729046804)-π/2
    2×0.917482624790607-π/2
    1.83496524958121-1.57079632675     		φ = 0.26416892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51119910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.289551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26416892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.135764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9525 KachelY 7495 0.51119910 0.26416892 29.289551 15.135764
    Oben rechts KachelX + 1 9526 KachelY 7495 0.51158259 0.26416892 29.311523 15.135764
    Unten links KachelX 9525 KachelY + 1 7496 0.51119910 0.26379871 29.289551 15.114553
    Unten rechts KachelX + 1 9526 KachelY + 1 7496 0.51158259 0.26379871 29.311523 15.114553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26416892-0.26379871) × R
    0.000370209999999982 × 6371000     		dl = 2358.60790999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26416892-0.26379871) × R
    0.000370209999999982 × 6371000     		dr = 2358.60790999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51119910-0.51158259) × cos(0.26416892) × R
    0.000383489999999931 × 0.965309835119083 × 6371000     		do = 2358.45926609498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51119910-0.51158259) × cos(0.26379871) × R
    0.000383489999999931 × 0.965406433429109 × 6371000     		du = 2358.69527651472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26416892)-sin(0.26379871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965309835119083-0.965406433429109)×R²
    abs(0.51158259-0.51119910)×9.65983100266188e-05×R²
    0.000383489999999931×9.65983100266188e-05×6371000²
    0.000383489999999931×9.65983100266188e-05×40589641000000     		ar = 5562959.07198158m²