Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9524 / 7494
↖ ↑ ↗
← N 15.156974°
E 29.267578°		 ← 2 358.28 m → N 15.156974°
E 29.289551°		 →
↑
2 358.42 m
↓
↑
2 358.42 m
↓
N 15.135764°
E 29.267578°		 ← 2 358.52 m →
5 562 096 m²		 N 15.135764°
E 29.289551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581329345703125 y=0.457427978515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581329345703125 × 214)
    floor (0.581329345703125 × 16384)
    floor (9524.5)     		tx = 9524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457427978515625 × 214)
    floor (0.457427978515625 × 16384)
    floor (7494.5)     		ty = 7494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9524 / 7494 ti = "14/9524/7494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9524/7494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9524 ÷ 214
    9524 ÷ 16384     		x = 0.581298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7494 ÷ 214
    7494 ÷ 16384     		y = 0.4573974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581298828125 × 2 - 1) × π
    0.16259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51081560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4573974609375 × 2 - 1) × π
    0.085205078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.267679647478394
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51081560} λ = 0.51081560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.267679647478394))-π/2
    2×atan(1.30692839513859)-π/2
    2×0.917667711362092-π/2
    1.83533542272418-1.57079632675     		φ = 0.26453910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51081560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.267578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26453910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.156974°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9524 KachelY 7494 0.51081560 0.26453910 29.267578 15.156974
    Oben rechts KachelX + 1 9525 KachelY 7494 0.51119910 0.26453910 29.289551 15.156974
    Unten links KachelX 9524 KachelY + 1 7495 0.51081560 0.26416892 29.267578 15.135764
    Unten rechts KachelX + 1 9525 KachelY + 1 7495 0.51119910 0.26416892 29.289551 15.135764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26453910-0.26416892) × R
    0.000370180000000053 × 6371000     		dl = 2358.41678000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26453910-0.26416892) × R
    0.000370180000000053 × 6371000     		dr = 2358.41678000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51081560-0.51119910) × cos(0.26453910) × R
    0.000383499999999981 × 0.965213112352023 × 6371000     		do = 2358.28444532766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51081560-0.51119910) × cos(0.26416892) × R
    0.000383499999999981 × 0.965309835119083 × 6371000     		du = 2358.52076598488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26453910)-sin(0.26416892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965213112352023-0.965309835119083)×R²
    abs(0.51119910-0.51081560)×9.67227670599646e-05×R²
    0.000383499999999981×9.67227670599646e-05×6371000²
    0.000383499999999981×9.67227670599646e-05×40589641000000     		ar = 5562096.34269254m²